חלק ב: תיאור נתונים · פרק 12
צורת ההתפלגות
ממוצע וסטיית תקן אומרים איפה הנתונים נמצאים וכמה הם מפוזרים. הם לא אומרים איך ההתפלגות נראית: אם היא סימטרית, אם יש לה זנב ארוך, ואם יש בה ערכים רחוקים במיוחד. בפרק הזה נלמד לתאר צורה במספרים, בהטיה ובגבנוניותKurtosis, ובגרף אחד, דיאגרמת התיבה. נחליט מה עושים עם ערכים קיצונייםOutlier, נבדוק אם התפלגות נורמליתNormal distribution בקירוב, ונכתוב את הפסקה הראשונה של פרק השיטה: פסקת המשתתפיםParticipants section.
לתלמידים במחקר יש בממוצע 2.33 אחים, עם סטיית תקן של 1.51. האם זה תיאור טוב של מספר האחים?
לא לגמרי. רוב התלמידים עם אח אחד עד שלושה, ויש זנב ארוך של משפחות גדולות, עד שבעה אחים. שני התלמידים עם שבעה אחים מושכים את הממוצע למעלה, והוא כבר לא "התלמיד הטיפוסי". בסוף הפרק תדעו לזהות את זה במספר אחד, לראות את זה בגרף אחד, ולבחור מה לדווח.
בסוף הפרק תוכלו
- לזהות צורות של התפלגות ולומר מה הן עושות לממוצע ולחציוןMedian.
- לפרש מדד הטיהSkewness ומדד גבנוניות, ולהסביר למה הגבנוניות מספרת על הזנבות ולא על השיא.
- לבנות ולקרוא דיאגרמת תיבהBoxplot, ולמצוא ערכים קיצוניים בכלל של 1.5 תחומים בין־רבעוניים.
- להחליט מה עושים עם ערך קיצוני, ולבדוק אם התפלגות נורמלית בקירוב.
- לכתוב פסקת משתתפים לפי APA, מתוך פלט של התוכנה.
צורות של התפלגות
התפלגות סימטרית: שני הצדדים דומים, והממוצע קרוב לחציון. הטיה חיוביתPositive skew: זנב ארוך לכיוון הערכים הגבוהים, והממוצע גבוה מהחציון. הטיה שליליתNegative skew: זנב לכיוון הנמוכים, והממוצע נמוך מהחציון. השם נקבע לפי כיוון הזנב. יש גם התפלגות אחידה ודו־שיאית.
בפרק 9 ראינו בהיסטוגרמהHistogram שלכל התפלגות יש צורה, ובפרק 10 ראינו שהממוצע נמשך אל הערכים הקיצוניים. הנה ארבעה משתנים מקובץ המחקר. בכל גרף, הקו השחור הוא הממוצע, והקו האדום המקווקו הוא החציון:
- סימטרית. בחרדה לפני התוכנית (
anx_pre), שני הצדדים של ההיסטוגרמה דומים. הממוצע, 2.24, והחציון, 2.25, כמעט באותו מקום. - הטיה חיובית. במספר האחים (
siblings) השיא בצד שמאל, ליד הערכים הנמוכים, והזנב נמשך ימינה, אל המשפחות הגדולות. הזנב מושך את הממוצע אחריו: הממוצע 2.33, והחציון 2. כך נראות הרבה התפלגויות של ספירות, זמנים והכנסות. - הטיה שלילית. בזמינות המורה אחרי התוכנית (
teach_post), בסולם של 1 עד 7, רוב התלמידים מדווחים על ציונים גבוהים, ו־39 מהם קיבלו בדיוק 7, הציון המקסימלי. הזנב נמשך שמאלה, אל הציונים הנמוכים, והממוצע, 5.84, נמוך מהחציון, 5.94. כשהרבה תלמידים "נתקעים" בציון הגבוה ביותר של השאלון, קוראים לזה אפקט תקרה, וההטיה השלילית היא התוצאה. - רחבה ושטוחה. בגיל (
age) אין שיא חד ואין זנבות: כמעט כל הגילים בין 9.2 ל־11.2 שכיחים באופן דומה, כי במחקר שתי שכבות, ד׳ וה׳. התפלגות שבה לכל הערכים שכיחות דומה נקראת התפלגות אחידהUniform distribution. הגיל לא אחיד לגמרי, אבל קרוב לזה יותר מאשר לפעמון.
ויש עוד צורה אחת שכדאי להכיר: התפלגות דו־שיאיתBimodal distribution, עם שני שיאים. אם נמדוד את הגובה של קבוצה שבה חצי ילדים בני שש וחצי הורים, נקבל שיא אחד לילדים ושיא אחד למבוגרים. דו־שיאיות היא כמעט תמיד רמז שבנתונים מסתתרות שתי קבוצות שונות, ושכדאי לתאר כל אחת בנפרד.
איך זוכרים את השם של ההטיה? מסתכלים על הזנב, לא על השיא. זנב שפונה לערכים הגבוהים, לצד החיובי של הציר: הטיה חיובית. זנב שפונה לערכים הנמוכים: הטיה שלילית. והממוצע תמיד נמשך אל הזנב.
מהי הצורה הצפויה בכל אחד מהמקרים? א. מספר הימים שתלמידים החסירו בשנה. ב. ציונים במבחן קל מאוד. ג. הגובה של כל המשתתפים בטיול משפחות. ד. התאריך בחודש שבו נולדו תלמידי בית הספר.
בדיקת התשובה
א. הטיה חיובית: רוב התלמידים החסירו מעט ימים, ומעטים החסירו הרבה. הזנב פונה לערכים הגבוהים. ב. הטיה שלילית: רוב הציונים קרובים ל־100, ומעטים נכשלו. זה אפקט תקרה. ג. דו־שיאית: שיא לילדים ושיא למבוגרים. ד. אחידה בקירוב: אין סיבה שתאריך אחד בחודש יהיה שכיח יותר מאחר (מלבד 29 עד 31, שלא קיימים בכל חודש).
בדקו את עצמכם3 שאלות
1.בבחינה קשה מאוד, רוב התלמידים קיבלו ציונים נמוכים, ומעטים קיבלו ציונים גבוהים. מהי הצורה?
2.במשתנה מסוים הממוצע 48, והחציון 55. מה הכי סביר?
3.בהיסטוגרמהHistogram של זמן תגובה במשימה במעבדה רואים שני שיאים ברורים. מה כדאי לבדוק?
הטיה: מספר אחד לאי־סימטריה
מדד ההטיה (Skewness) הוא בערך הממוצע של ציוני התקן בחזקת שלוש. אפס: סימטרית. חיובי: הטיה חיובית. שלילי: הטיה שלילית. כלל האצבע בספר: בין −0.5 ל־0.5, סימטרית בקירוב. מ־0.5 עד 1 בערך מוחלט, הטיה בינונית. מעל 1, הטיה ברורה.
להסתכל על היסטוגרמה זה חשוב, אבל "נראה לי מוטה" זה לא מספר. רוצים מדד אחד, שגם יגיד את כיוון ההטיה וגם את העוצמה שלה.
הרעיון הוא המשך ישיר של פרק 11. שם לקחנו כל סטייה מהממוצע והעלינו אותה בריבוע, כדי להיפטר מהסימן. כאן אנחנו רוצים את הסימן: הוא אומר לאיזה צד הערך רחוק. לכן מעלים בחזקת שלוש, שמשאירה את הסימן. ולפני כן מחלקים כל סטייה בסטיית התקן, כדי שהמדד לא יהיה תלוי ביחידות. סטייה מהממוצע חלקי סטיית התקן נקראת ציון תקןz-score, ונכיר אותה היטב בפרק 13.
למה זה עובד? בהתפלגות סימטריתSymmetric distribution, לכל ערך רחוק בצד אחד יש ערך רחוק דומה בצד השני. החזקות השלישיות שלהם מקזזות זו את זו, ומתקבל אפס. בהתפלגות עם זנב ימני, הערכים הרחוקים בזנב נותנים מספרים חיוביים גדולים מאוד, כי חזקה שלישית מגדילה מרחק גדול הרבה יותר ממרחק קטן. והתוצאה חיובית.
נחזור לחמשת התלמידים מפרק 11 ולמספרי הטעויות שלהם: 2, 4, 4, 5, 10. כבר יודעים: M = 5, SD = 3.
| x | z = (x − 5) / 3 | z³ |
|---|---|---|
| 2 | −1 | −1 |
| 4 | −0.33 | −0.04 |
| 4 | −0.33 | −0.04 |
| 5 | 0 | 0 |
| 10 | 1.67 | 4.63 |
| Σ = 0 | Σ = 3.56 |
הטיה חיובית ברורה, מעל 1. ומי אחראי לה? כמעט רק התלמיד עם 10 טעויות. הסטייה שלו בציוני תקןz-score היא 1.67, ובחזקת שלוש היא הופכת ל־4.63. שלושת הערכים שמתחת לממוצע, ביחד, תורמים רק −1.07. את התיקון למדגם לא צריך לזכור: אקסל, SPSS ו־JASP מחשבים אותו בדיוק כך.
מתי הטיה היא "הרבה"?
אין גבול חד, ובספרות יש כמה כללי אצבע. בספר נשתמש בזה:
| מדד ההטיה, בערך מוחלט | המשמעות | מהקובץ |
|---|---|---|
| עד 0.5 | סימטרית בקירוב | חרדה לפני: 0.22. גיל: 0.35 |
| 0.5 עד 1 | הטיה בינונית | מספר אחים: 0.63. זמינות המורה אחרי: −0.52 |
| מעל 1 | הטיה ברורה | הדוגמה הפתורה: 1.48 |
יש חוקרים שמקבלים עד 1, ויש שמקבלים אפילו עד 2. אין כאן "נכון" ו"לא נכון". מה שחשוב הוא לכתוב באיזה כלל השתמשתם, ולהחליט לפני שמסתכלים בתוצאות. ואם ההטיה בינונית או ברורה, מוסיפים לממוצע ולסטיית התקן גם את החציון והתחום הבין־רבעוניInterquartile range, שאינם נמשכים אחרי הזנב.
ועוד דרך מהירה להרגיש את ההטיה: ההפרש בין הממוצע לחציון. אם הממוצע גבוה מהחציון, יש כנראה זנב ימני. בהרצאה אני מראה נוסחת קיצור: 3 · (M − חציון) / SD. במספר האחים: 3 · (2.33 − 2) / 1.51 = 0.66, קרוב ל־0.63 של התוכנה. למה מחלקים בסטיית התקן? כי הפרש של 2 בין הממוצע לחציון הוא זניח כשהממוצע 2,000, והוא עצום כשהממוצע 2. אבל זה רק קירוב. המדד שהתוכנות מחשבות, ושמדווחים, הוא זה של החזקה השלישית.
גם מדד ההטיה הוא אומדןEstimate מתוך מדגם, ולכן יש לו טעות תקן (Std. Error), שהתוכנות מדווחות לידו. טעות התקן תלויה רק בגודל המדגם: בערך 0.35 ל־45 נבדקים, ו־0.17 ל־200. מכאן כלל נוסף, שאני מלמד בקורס המתקדם: מחלקים את מדד ההטיה בטעות התקן שלו. התוצאה היא מעין ציון תקן, ובודקים אם היא רחוקה מאפס יותר ממה שהמקרה מסביר. לפי Kim (2013): במדגם של פחות מ־50, ערך מעל 1.96 בערך מוחלט מעיד על הטיה. בין 50 ל־300 נבדקים, הגבול הוא 3.29. ומעל 300 נבדקים לא מחלקים בכלל, כי טעות התקן זעירה וכל סטייה קטנה תיראה "מובהקת". שם מסתכלים על המדד עצמו, וחוששים רק מהטיה של יותר מ־2 בערך מוחלט (West et al., 1995).
במספר האחים: 0.631 / 0.174 = 3.62, מעל 3.29, ולכן לפי הכלל הזה ההטיה ממשית. בחרדה לפני התוכנית: 0.222 / 0.172 = 1.29, ואין סיבה לדאגה. שימו לב שהמסקנות מתאימות לכלל האצבע הפשוט של הספר. ובכל זאת, "אין בסטטיסטיקה כללים קשיחים", כמו שאני אומר בהרצאה. הכללים נועדו לעזור לחשוב, לא להחליף את המבט בגרף. מה זו טעות תקן, ולמה מחלקים בה, נלמד בפרקים 17 ו־18.
בדקו את עצמכם3 שאלות
1.שלושה ערכים: 2, 3, 7. M = 4, SD = 2.65. מהו הסימן של מדד ההטיה, ולמה?
2.מדד ההטיה של משתנה הוא −0.78. לפי כלל האצבע של הספר, מה נכון?
3.בשני משתנים ההפרש בין הממוצע לחציון הוא 2. במשתנה א סטיית התקן 1, ובמשתנה ב סטיית התקן 20. באיזה מהם ההטיה כנראה חזקה יותר? השתמשו בנוסחת הקיצור.
גבנוניות: הזנבות, לא השיא
מדד הגבנוניות (Kurtosis) הוא בערך הממוצע של z⁴, פחות 3, כך שבהתפלגות נורמלית הוא אפס. הוא מודד את הזנבות: חיובי פירושו זנבות כבדים, יותר ערכים רחוקים מהמרכז מאשר בהתפלגות נורמלית. שלילי פירושו זנבות קלים וקצרים. כלל האצבע בספר: בין −1 ל־1, תקין.
ההטיה עונה על השאלה "האם ההתפלגות סימטרית?". אבל לא כל התפלגות סימטרית היא נורמלית, ולא כל פעמון הוא פעמון נורמלי. בגרף הבא שתי התפלגויות סימטריות, עם אותו ממוצע ואותה סטיית תקן. הכחולה נורמלית. לאדומה המקווקוות יש זנבות כבדים:
שתי ההתפלגויות שונות בעיקר במקום שהעין בקושי רואה: בקצוות. באדומה, ערך שרחוק יותר מ־3 סטיות תקן מהממוצע שכיח פי שבעה בערך. וזה בדיוק מה שמדד הגבנוניות מודד. הוא בנוי כמו מדד ההטיה, אבל בחזקת ארבע:
למה דווקא הזנבות? בגלל החזקה הרביעית. הנה כמה כל ערך תורם לסכום, לפי המרחק שלו מהממוצע בסטיות תקן:
| המרחק מהממוצע, z | 0.5 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| התרומה, z⁴ | 0.06 | 1 | 16 | 81 | 256 |
כל הערכים שבתוך סטיית תקן אחת מהממוצע, כלומר כל "השיא" והאזור שסביבו, תורמים לכל היותר 1 כל אחד. ערך אחד שרחוק 4 סטיות תקן תורם 256. כלומר, המדד כמעט לא רואה מה קורה בשיא. הוא רואה את הקצוות. ה־3 שמחסירים בסוף הוא הממוצע של z⁴ בהתפלגות נורמלית, ולכן בנורמלית מקבלים אפס. כך מדווחות כל התוכנות שבספר.
- גבנוניות חיובית: זנבות כבדים. יותר ערכים קיצוניים ממה שהיינו מצפים בהתפלגות נורמלית. בגרף למעלה, הגבנוניות של ההתפלגות האדומה היא 5.33.
- גבנוניות שלילית: זנבות קלים. הערכים "נגמרים" מהר, ואין כמעט ערכים רחוקים. בהתפלגות אחידה הגבנוניות היא −1.2. בגיל שלנו: −0.80. הגילים נעים רק בין 9.2 ל־11.2, ואין ילדים בני 8 או 12. אין זנבות.
- קרוב לאפס: זנבות כמו בנורמלית. בחרדה לפני התוכנית: −0.54. במספר האחים: 0.12. כן, מספר האחים מוטה, אבל הזנבות שלו לא כבדים במיוחד. הטיה וגבנוניות הן שתי שאלות שונות.
בהרבה ספרים, וגם אני בהרצאות של פעם, הגבנוניות מוסברת כ"חידוד" של השיא: מושכים את הפעמון למעלה כמו בלון, ומקבלים פעמון צר ומחודד, גבנוניות חיובית. יושבים עליו ומשטחים אותו, ומקבלים גבנוניות שלילית. התמונה הזו חיה בספרים יותר ממאה שנה, אבל היא מטעה. אפשר לבנות התפלגות עם שיא שטוח לגמרי וגבנוניות חיובית ענקית, אם יש לה כמה ערכים רחוקים מאוד, ואפשר לבנות שיא מחודד מאוד עם גבנוניות שלילית (Westfall, 2014). מה שנשאר נכון מהבלון הוא המסר: לא כל פעמון הוא נורמלי. אבל מה שמבדיל ביניהם, במדד הזה, הם הזנבות.
למה בכלל אכפת לנו מהזנבות? כי הרבה כלים שנלמד בהמשך מניחים התפלגות נורמלית, ובפרק 14 נראה שבהתפלגות נורמלית יש כלל ברור: בערך 68% מהערכים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע, ו־95% בטווח של שתיים. בהתפלגות עם זנבות כבדים זה לא עובד. בגרף למעלה, בהתפלגות האדומה, 77% מהערכים נמצאים בטווח של סטיית תקן אחת, ולא 68%. ובזנבות כבדים, ערכים "בלתי סבירים" הם בעצם די נפוצים. כלל האצבע של הספר: גבנוניות בין −1 ל־1 היא תקינה.
חוקרת מדווחת על שני משתנים. משתנה א: הטיה 0.05, גבנוניות 2.8. משתנה ב: הטיה 1.6, גבנוניות 0.2. תארו במילים את הצורה של כל אחד. לאיזה מהם הממוצע והחציון כנראה רחוקים זה מזה?
בדיקת התשובה
משתנה א סימטרי, אבל עם זנבות כבדים: רוב הערכים סביב המרכז, ומדי פעם ערך רחוק מאוד, בשני הצדדים. משתנה ב מוטה חיובית בבירור, עם זנב ימני, והזנבות שלו לא כבדים יותר מבנורמלית. הממוצע והחציון רחוקים זה מזה במשתנה ב: הזנב מושך את הממוצע למעלה. במשתנה א הזנבות סימטריים, ומשיכה של צד אחד מתקזזת במשיכה של הצד השני, ולכן הממוצע והחציון קרובים.
הממוצע, השונות, ההטיה והגבנוניות הם ארבעה "מומנטים" של התפלגות. השונות בנויה על החזקה השנייה של הסטיות, ההטיה על השלישית, והגבנוניות על הרביעית. ומה עם החמישית? אפשר, אבל אף אחד לא משתמש בה.
בהתפלגות נורמלית הממוצע של z⁴ הוא 3. יש מקורות, ובעיקר ספרים ישנים, שמדווחים את המדד בלי להחסיר 3, ואז הערך של התפלגות נורמלית הוא 3 ולא אפס. הגרסה עם החיסור נקראת באנגלית Excess kurtosis, גבנוניות עודפת. KURT באקסל, SPSS ו־JASP מדווחים כולם את הגרסה העודפת, עם תיקון למדגם, כמו בהטיה. ולכן בספר: נורמלית = אפס.
גם לגבנוניות יש טעות תקן, בערך פי שניים מזו של ההטיה, ואפשר להפעיל עליה את אותם כללים של Kim (2013). ושלוש מילים מהספרות, שאולי תפגשו: לפטוקורטית (זנבות כבדים), מזוקורטית (כמו נורמלית) ופלטיקורטית (זנבות קלים). אני מבטיח לכם: "קורטוסיס" זו לא מחלת כבד.
בדקו את עצמכם3 שאלות
1.מה מדד הגבנוניות מודד בעיקר?
2.ערך אחד רחוק 3 סטיות תקן מהממוצע. כמה הוא תורם לסכום של z⁴, לעומת ערך שרחוק סטיית תקן אחת?
3.בשכבה אחת בלבד, הציונים במבחן נעים בין 60 ל־100, וכל ציון שכיח בערך כמו האחרים. מה צפוי במדד הגבנוניות?
דיאגרמת תיבה
דיאגרמת תיבה (Boxplot) מסכמת התפלגות בגרף אחד. התיבה: מ־Q1 עד Q3, חצי הערכים שבאמצע. הקו בתוכה: החציון. השפמים: עד הערך הקיצוני ביותר שאינו "ערך קיצוני". נקודה בודדת: ערך קיצוני, רחוק מהתיבה ביותר מ־1.5 תחומים בין־רבעוניים.
דיאגרמת התיבה, שהמציא הסטטיסטיקאי ג׳ון טוקי (Tukey, 1977), בנויה כולה מהמדדים של פרקים 10 ו־11: חציון, רבעוניםQuartile ותחום בין־רבעוני. הנה דיאגרמת התיבה של מספר האחים, עם הסבר לכל חלק:
בונים אותה בחמישה צעדים:
- התיבה: מ־Q1 עד Q3. הרוחב שלה הוא התחוםRange הבין־רבעוני, ובתוכה נמצאים חצי מהערכים.
- הקו: החציון, Q2.
- הגדרות: מחשבים שני גבולות, שלא מציירים. גדר תחתונה: Q1 − 1.5 · IQR. גדר עליונה: Q3 + 1.5 · IQR.
- השפמים: קו מכל צד של התיבה, עד הערך הקיצוני ביותר שעדיין בתוך הגדרות.
- ערכים קיצוניים: כל ערך שמחוץ לגדרות מצויר כנקודה או עיגול בודד.
ושימו לב מה הגרף אומר על הצורה: השפם הימני ארוך פי שלושה מהשמאלי, ויש ערכים קיצוניים רק בצד הימני. זו הטיה חיובית, בלי לחשב אף מדד. החציון לא נמצא באמצע התיבה כאן, כי בין 1 ל־3 יש רק שלושה ערכים אפשריים, אבל באופן כללי, חציון שקרוב לצד אחד של התיבה הוא עוד סימן להטיה.
היתרון הגדול: השוואה בין קבוצות
היסטוגרמה אחת תופסת הרבה מקום. דיאגרמות תיבה אפשר להעמיד אחת ליד השנייה, ולהשוות במבט אחד מרכז, פיזור וצורה. הנה החרדה מיד אחרי התוכנית (anx_post), לכל התלמידים יחד, ובכל קבוצה בנפרד:
שלושה דברים רואים מיד. החציון יורד מהביקורת לתוכנית העקיפה, ומשם לתוכנית המשולבת. התיבה של קבוצת הביקורת רחבה יותר: הפיזור בה גדול יותר, כמו שמצאנו בתרגול של פרק 11. ובשורה העליונה, של כל 200 התלמידים יחד, יש שלושה ערכים קיצוניים, 3.625, 3.625 ו־3.875, שנעלמו כשפיצלנו לקבוצות. על החידה הזו בסעיף הבא. האם ההבדלים בין הקבוצות גדולים מכדי להיות מקריים? את זה נבדוק בפרק 26.
לדיאגרמת התיבה יש קרובת משפחה צעירה: דיאגרמת כינור (violin plot). במקום תיבה, מציירים את צורת ההתפלגות עצמה, כמו היסטוגרמה מוחלקת, ומשכפלים אותה כמו בבואה במראה. איפה שהצורה רחבה, יש הרבה נבדקים, ואיפה שהיא צרה, מעט. בפריט של 1 עד 5 שרוב התלמידים סימנו בו 4, הכינור יהיה הכי רחב בגובה 4, וכמעט צר לגמרי בגובה 1. הצורה באמת מזכירה כינור, או, כמו שאמרתי פעם בשיעור, סוכריית מנטה.
היתרון שלה: רואים בה מה שהתיבה מסתירה. בהתפלגות דו־שיאית, למשל, שתי הפסגות בולטות בכינור, ובתיבה הן נעלמות לגמרי. במאמרים היא עדיין פחות נפוצה מדיאגרמת התיבה, ולכן מציירים לא פעם את שתיהן יחד: תיבה צרה בתוך הכינור.
ב־JASP: בחלק Customizable plots מסמנים Boxplots, ושם יש שלושה רכיבים שאפשר לשלב: Boxplot element, Violin element, ו־Jitter element, שמצייר את הנבדקים עצמם כנקודות.
בתפריטים של SPSS אין דיאגרמת כינור מוכנה. מי שרוצה אחת, יכול לפתוח את אותו קובץ ב־JASP ולצייר אותה שם.
באקסל אין דיאגרמת כינור מובנית. מי שרוצה אחת, יכול לפתוח את אותו קובץ ב־JASP ולצייר אותה שם.
11 מורות דיווחו כמה שעות בשבוע הן מקדישות להכנת שיעורים (מסודר): 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 16. מצאו את הרבעוניםQuartile, את הגדרות ואת קצות השפמים. האם יש ערך קיצוני?
בדיקת התשובה
המורה שמקדישה 16 שעות היא ערך קיצוני. השפם העליון נגמר ב־9, הערך הגבוה ביותר בתוך הגדרות, ולא בגדר עצמה, 12.
מעבדה: צורת ההתפלגות
- עברו בין
anx_pre,siblingsו־teach_post. באיזה משתנה הממוצע והחציון נפרדים, ולאיזה צד? האם הסימן של מדד ההטיה מתאים? - בחרו
age. מהי הגבנוניות, ולמה היא שלילית? אחר כך, ב"יוצרים בעצמנו", לחצו "פעמונית" ואחר כך "זנבות כבדים". מה קרה לגבנוניות, ומה הופיע בדיאגרמת התיבה? - בחרו
anx_post. כמה ערכים קיצוניים יש, ובאיזה צד?
בדיקת התשובה
1. ב־siblings הממוצע (2.33) מימין לחציון (2.00), והטיה חיובית, 0.63. ב־teach_post הממוצע (5.84) משמאל לחציון (5.94), והטיה שלילית, −0.52. ב־anx_pre הם כמעט חופפים, והטיה 0.22. 2. הגבנוניות של הגיל −0.80: הגילים נעים בטווח צר, בלי זנבות. בפעמונית הגבנוניות קרובה לאפס (−0.20), ובזנבות כבדים היא קופצת ל־3.00, ובדיאגרמת התיבה מופיעים שישה ערכים קיצוניים, משני הצדדים. ההטיה נשארת אפס: הזנבות סימטריים. 3. שלושה, כולם בצד הגבוה: 3.625, 3.625 ו־3.875.
בדקו את עצמכם3 שאלות
1.ל־12 ציונים: Q1 = 62, חציון 70, Q3 = 78. הציון הנמוך ביותר 31, והבא אחריו 45. הגבוה ביותר 95. איפה נגמר השפם התחתון?
2.בדיאגרמת תיבה, החציון קרוב מאוד לצד השמאלי של התיבה, והשפם הימני ארוך בהרבה מהשמאלי. מה הצורה?
3.למה דיאגרמת תיבה טובה במיוחד להשוואה בין קבוצות?
ערכים קיצוניים: מה עושים איתם?
ערך קיצוני (Outlier) הוא ערך רחוק מאוד משאר הערכים. כלל הדיאגרמה: מחוץ לגדרות של 1.5 תחומים בין־רבעוניים. ערך קיצוני הוא לא טעות בהכרח. קודם בודקים אם זו טעות, ומתקנים. אם הערך אמיתי, לא מוחקים אותו אוטומטית. מדווחים, משתמשים במדדים עמידים, ואפשר לבדוק אם המסקנות משתנות בלעדיו.
מצאנו ערך קיצוני. מה עכשיו? הפיתוי הוא למחוק אותו: הוא "מקלקל" את הממוצע, מנפח את סטיית התקן ומטה את ההתפלגות. אבל ערך קיצוני הוא לפעמים הנבדק הכי מעניין במחקר. לכן הולכים לפי הסדר:
- האם זו טעות? בודקים בקובץ. ציון 9 בשאלון של 1 עד 4 הוא טעות הקלדה. ו־99 במספר האחים הוא בכלל קוד של ערך חסרMissing value, שמישהו שכח להגדיר (פרק 8). טעות מתקנים, לפי השאלון המקורי, ואם אי אפשר, מגדירים כחסר.
- האם הנבדק שייך לאוכלוסייה? ילד בן 14 במחקר על כיתות ד׳ וה׳, למשל, אולי לא היה צריך להיכלל במדגם בכלל. את זה מחליטים לפי כללי המחקר, לא לפי הציון שלו.
- אם הערך אמיתי, משאירים אותו. שני תלמידים עם שבעה אחים הם לא טעות: יש משפחות גדולות. מוחקים אותם, ומקבלים תמונה לא נכונה של המשפחות במדגם.
- ואז מחליטים איך לנתח. מדווחים חציון ותחום בין־רבעוני, שעמידים לערכים קיצוניים. אפשר להריץ את הניתוח פעם עם הערך ופעם בלעדיו, ולדווח אם המסקנה משתנה. ויש גם טרנספורמציותTransformation שמקטינות זנבות, כמו לוגריתם, שנכיר בפרק 35.
מה שאסור: למחוק ערכים קיצוניים רק כי התוצאה "יוצאת יפה יותר" בלעדיהם, או לבחור את כלל המחיקה אחרי שראיתם את התוצאות. ההחלטה מתקבלת מראש, נכתבת בפרק השיטה, וחלה על כולם. כמו שאני אומר לסטודנטים: בודקים ערכים קיצוניים במחשבה, לא זורקים אנשים מהמחקר.
בדיאגרמת התיבה של החרדה אחרי התוכנית, בסעיף הקודם, היו שלושה ערכים קיצוניים: תלמידים 20, 37 ו־43. בקובץ רואים ששלושתם בקבוצת הביקורת. ובדיאגרמה של קבוצת הביקורת לבדה, הם כבר לא קיצוניים. איך זה ייתכן?
כי ערך קיצוני הוא תמיד ביחס להתפלגות שמסתכלים עליה. בכל המדגם, רוב התלמידים מהתוכניות ירדו בחרדה, והתיבה של כולם נמוכה וצרה: הגדר העליונה שלה היא 3.5. בקבוצת הביקורת החרדה גבוהה יותר והפיזור גדול יותר, ושם הגדר העליונה היא 4.06. שלושת התלמידים האלה הם תלמידים חרדים בקבוצה שלא קיבלה תוכנית, לא "חריגים". המסקנה המעשית: כשמשווים קבוצות, מחפשים ערכים קיצוניים בתוך כל קבוצה.
הכלל של 1.5 תחומים בין־רבעוניים הוא של טוקי, והוא עמידRobustness: הגדרות שלו מבוססות על רבעונים, שערך קיצוני לא מזיז. כלל נפוץ אחר משתמש בציוני תקן, שנלמד בפרק 13: ערך שרחוק מהממוצע יותר מ־3 סטיות תקן נחשב קיצוני. החיסרון שלו: הממוצע וסטיית התקן עצמם מושפעים מהערכים הקיצוניים, ולכן ערך קיצוני גדול מאוד יכול "להסתיר את עצמו", כי הוא מנפח את סטיית התקן. וגם הכלל הזה לא מדויק לכל ההתפלגויות: בהתפלגות מוטה או עם זנבות כבדים, יש באופן טבעי אנשים רחוקים.
SPSS מבחין בין שתי דרגות: ערך שרחוק מהתיבה יותר מ־1.5 תחומים בין־רבעוניים מסומן בעיגול, וערך שרחוק יותר מ־3 תחומים בין־רבעוניים, "ערך קיצוני מאוד", מסומן בכוכבית. אני לא מכיר כלל אחד שכולם מסכימים עליו. כתבו באיזה כלל השתמשתם, ולמה.
בדקו את עצמכם3 שאלות
1.בשאלון בעיות קשב (1 עד 5), לתלמיד אחד ציון 4.8, והוא ערך קיצוני בדיאגרמת התיבה של הכיתה. מה לעשות?
2.בכל המדגם, ציון של 3.6 הוא ערך קיצוני, אבל בתוך הקבוצה של התלמיד הוא לא. איך זה ייתכן?
3.חוקר ניתח את הנתונים, קיבל תוצאה לא מובהקת, ואז מחק שלושה ערכים קיצוניים, והתוצאה הפכה מובהקת. הוא מדווח רק את הניתוח השני. מה הבעיה?
האם ההתפלגות נורמלית?
בודקים בכמה כלים יחד: היסטוגרמה, מדדי הטיה וגבנוניות, תרשים Q-Q (פרק 14), ומבחן Shapiro-Wilk. במבחן, p < .05 פירושו סטייה מנורמליות. במדגם גדול המבחן מזהה גם סטיות זניחות, ובמדגם קטן הוא מפספס סטיות גדולות. לכן לא מחליטים לפי המבחן לבד.
הרבה מהמבחנים שנלמד בהמשך הספר מניחים שהמשתנה מתפלג נורמלית, לפחות בקירוב. את ההתפלגות הנורמלית נכיר לעומק בפרק 14. בינתיים מספיק לדעת שזו התפלגות פעמונית וסימטרית, עם צורה מתמטית מדויקת, וזנבות "רגילים": הטיה אפס, וגבנוניות אפס. איך בודקים אם הנתונים שלנו קרובים אליה? יש ארבעה כלים, וכדאי להשתמש ביותר מאחד:
- היסטוגרמה. האם היא פעמונית וסימטרית? SPSS יודע לצייר מעליה את העקומה הנורמלית עם אותו ממוצע ואותה סטיית תקן, להשוואה (פרק 14).
- הטיה וגבנוניות. לפי כללי האצבע של הסעיפים הקודמים.
- תרשים Q-Q. גרף שבו נתונים נורמליים יושבים על קו ישר. נלמד אותו בפרק 14.
- מבחן נורמליות. המבחן המומלץ הוא Shapiro-Wilk. הוא משווה את הערכים המסודרים של המדגם לערכים שהיינו מצפים לקבל ממדגם נורמלי באותו גודל, ומסכם את ההתאמה במספר אחד, W. W קרוב ל־1 פירושו התאמה טובה.
המבחן נותן גם ערך . מה הוא בדיוק נלמד בפרק 18. בינתיים, הכלל: אם p < .05, המבחן אומר שהנתונים סוטים מהתפלגות נורמלית. תוצאה כזו נקראת מובהקת (נלמד את המושג לעומק בפרק 18). שימו לב לכיוון: בבדיקה הזו, בניגוד לרוב המבחנים בספר, אנחנו בדרך כלל מקווים לא לקבל תוצאה מובהקתStatistically significant.
| המשתנה | הטיה | גבנוניות | Shapiro-Wilk | המבחן אומר |
|---|---|---|---|---|
קשיבות לפני (mind_pre) | −0.17 | −0.15 | W = .992, p = .382 | אין סטייה מנורמליות |
חרדה לפני (anx_pre) | 0.22 | −0.54 | W = .982, p = .011 | סטייה מנורמליות |
מספר אחים (siblings) | 0.63 | 0.12 | W = .931, p < .001 | סטייה מנורמליות |
הקשיבות עוברת בהצלחה, ומספר האחים נכשל, כמו שציפינו מההיסטוגרמה. אבל מה עם החרדה? ההטיה והגבנוניות שלה קטנות, וההיסטוגרמה נראית סבירה לגמרי, ובכל זאת המבחן מובהק. יש לכך שתי סיבות. הראשונה: עם 200 נבדקים, המבחן רגיש מאוד, ותופס גם סטיות קטנות שלא משנות דבר בפועל. השנייה: ציון החרדה הוא ממוצע של 8 פריטים מ־1 עד 4, ולכן כמעט כל הערכים שלו הם בקפיצות של שמינית (2, 2.125, 2.25...). בהתפלגות נורמלית אמיתית אין "מדרגות" כאלה, והמבחן מזהה אותן.
ומהצד השני: במדגם קטן, של 15 או 20 נבדקים, המבחן חלש, ויכול "לאשר" נורמליות גם כשההתפלגות מוטה בבירור. לכן ההמלצה: מסתכלים קודם בגרף ובמדדים, ומשתמשים במבחן כעוד עדות, לא כשופט יחיד. ובפרק 17 נראה שבמדגמים גדולים, נורמליות של המשתנה עצמו חשובה הרבה פחות ממה שנדמה.
Shapiro-Wilk הוא לא המבחן היחיד. יש גם Kolmogorov-Smirnov, ש־SPSS מציג לידו, Anderson-Darling ו־Cramér-von Mises. במחקרי סימולציה, ל־Shapiro-Wilk יצאה העוצמה הגבוהה ביותר, כלומר הוא הטוב ביותר בזיהוי התפלגויות שאינן נורמליות, ול־Kolmogorov-Smirnov העוצמה הנמוכה ביותר (Razali & Wah, 2011). אני מודה: שנים השתמשתי רק ב־Kolmogorov-Smirnov, כי זה מה שהיה בתוכנה. היום אני ממליץ על Shapiro-Wilk. ושימו לב לפרט טכני: כשהממוצע וסטיית התקן מחושבים מאותו מדגם, צריך גרסה מתוקנת של Kolmogorov-Smirnov, תיקון Lilliefors. SPSS מפעיל אותו אוטומטית, ובכלים אחרים כדאי לבדוק.
אף אחד מהמבחנים האלה אינו מבחן חי בריבועChi-square test of independence. מבחן חי בריבוע להתאמה (פרק 23) הוא עוד דרך לבדוק נורמליות, עם אותו היגיון של השוואה בין מה שנצפה למה שמצפים, אבל הוא בנוי אחרת. וטיפ אחרון: מה עושים כשמבחן אחד אומר "נורמלי" והשני "לא נורמלי"? התשובה הכנה, שאני נותן בהרצאה, היא שהפיתוי הוא לחפש את המבחן שאומר "נורמלי". זה בדיוק מה שאסור. בוחרים מבחן מראש, ומדווחים אותו.
בדקו את עצמכם3 שאלות
1.במבחן Shapiro-Wilk יצא p = .24. מה המשמעות?
2.במדגם של 18 נבדקים ההיסטוגרמה מוטה בבירור, הטיה 1.4, אבל Shapiro-Wilk נותן p = .09. מה הסבר סביר?
3.מנו שלושה כלים לבדיקת נורמליות, ונמקו למה לא מסתפקים במבחן לבד.
פסקת המשתתפים
בפרק השיטה של כל מאמר יש פסקה שמתארת את המדגם: כמה משתתפים, מאיפה ואיך גויסו, מגדר (מספר ואחוז), גיל (ממוצע, סטיית תקן ותחוםRange), מאפייני רקע רלוונטיים, ערכים חסריםMissing value, וחלוקה לקבוצות. האחוזים מחושבים מתוך הערכים התקפים. משתנה מוטה מתארים בחציון ובתחום הבין־רבעוני.
כל מה שלמדנו בחלק הזה של הספר, טבלאות שכיחויותFrequency table, מדדי מרכזMeasure of central tendency, מדדי פיזור וצורה, מתנקז לפסקה אחת בפרק השיטה: פסקת המשתתפים (Participants). המטרה שלה היא שקוראת תוכל לדעת על מי המחקר, ולמי אפשר להכליל ממנו. לפי APA, מדווחים:
- גודל המדגם ומאיפה הוא הגיע: כמה בתי ספר, אילו שכבות, איך גויסו.
- מגדר: מספר ואחוז.
- גיל: ממוצע, סטיית תקן ותחום.
- מאפייני רקע רלוונטיים למחקר: כאן, השכלת ההורים ומספר האחים.
- ערכים חסרים: כמה, ובאיזה משתנה. ואחוזים מחושבים מתוך מי שענה, כלומר מתוך Valid Percent (פרק 9).
- החלוקה לקבוצות, אם יש, וגודל כל קבוצה.
משתתפים. במחקר השתתפו 200 תלמידים משמונה כיתות בשלושה בתי ספר יסודיים: 133 תלמידים (66.5%) בכיתה ד׳ ו־67 (33.5%) בכיתה ה׳. 104 מהמשתתפים (52.0%) היו בנות. גילם הממוצע היה 10.05 שנים (SD = 0.55, תחום 9.2–11.2). ל־119 מתוך 194 התלמידים שעליהם נמסר מידע (61.3%) היה הורה עם תואר אקדמי. על השכלת ההורים של שישה תלמידים לא נמסר מידע. מספר האחים החציוני היה 2 (IQR = 2, תחום 0–7, חמישה ערכים חסרים). בתי הספר הוגרלו לשלוש קבוצות: ביקורת (n = 74), תוכנית עקיפה, שבה תרגלו המורות בלבד (n = 51), ותוכנית משולבת, שבה תרגלו המורות והתלמידים (n = 75). מאפייני הקבוצות מוצגים בלוח 1.
- הגיל
- ממוצע וסטיית תקן, כי ההתפלגות סימטריתSymmetric distribution בקירוב (הטיה 0.35), ועם תחום, כדי שהקוראת תדע בדיוק את גבולות ההכללה.
- מספר האחים
- חציון ותחום בין־רבעוניInterquartile range, כי ההתפלגות מוטה. זו התשובה לשאלת הפתיחה: "2.33 אחים בממוצע" מתאר פחות טוב את התלמיד הטיפוסי.
- 61.3%
- מתוך 194 שענו, ולא מתוך 200. ומיד אחר כך: כמה לא ענו.
- האותיות
- SD, n ו־M נכתבות באות נטויה. N גדולה לכל המדגם, ו־n קטנה לתת־קבוצה.
| המאפיין | ביקורת | תוכנית עקיפה | תוכנית משולבת |
|---|---|---|---|
| n | 74 | 51 | 75 |
| כיתות | 3 | 2 | 3 |
| בנות, n (%) | 39 (52.7) | 26 (51.0) | 39 (52.0) |
| כיתה ד׳, n (%) | 52 (70.3) | 29 (56.9) | 52 (69.3) |
| גיל, M (SD) | 10.00 (0.56) | 10.20 (0.54) | 10.01 (0.55) |
| הורה עם תואר אקדמי, % | 72.2 | 57.1 | 53.4 |
הלוח מראה עוד משהו, שחשוב במעין־ניסויQuasi-experimental design (פרק 7): האם הקבוצות דומות לפני התוכנית? במגדר ובגיל הן דומות מאוד. בהשכלת ההורים יש הבדל: בקבוצת הביקורת יותר הורים עם תואר אקדמי. האם ההבדל הזה גדול מכדי להיות מקרי? נבדוק בפרק 23. בכל מקרה, כדאי לזכור אותו כשנפרש את ההבדלים בין הקבוצות.
אחרי המשתתפים, פרק השיטה מתאר את הכלים: כל שאלון, כמה פריטים יש בו, ומה טווח התשובות. וגם כאן מדווחים ממוצע וסטיית תקן, של ציון השאלון: החרדה לפני התוכנית, למשל, M = 2.24, SD = 0.52, בסולם של 1 עד 4. בפרק 16 נוסיף לתיאור הזה את המהימנותReliability של כל שאלון.
מהתוכנה אל Word
את לוח 1 לא צריך להקליד מחדש, מספר אחרי מספר. כל אחת מהתוכנות יודעת להעביר טבלה ל־Word, ונשאר רק לסדר אותה לפי APA: מספר ושם לטבלה מעליה, קו מעל הכותרות, קו מתחתיהן וקו בסוף, בלי קווים אנכיים ובלי צבע, ושתי ספרות אחרי הנקודה.
ב־JASP זה הכי קל: ליד הכותרת של כל טבלה בפלט יש תפריט קטן, ובו Copy. מדביקים ב־Word, והטבלה כבר מגיעה בסגנון APA. נשאר לתרגם כותרות, לתת לטבלה מספר ושם, ולבדוק ש־Word בעברית לא הפך את סדר העמודות.
ב־SPSS: לחיצה ימנית על הטבלה בחלון הפלט, Copy, והדבקה ב־Word. העיצוב של SPSS הוא לא APA: מוחקים קווים אנכיים ורקע, ומעגלים. מי שמעתיק הרבה טבלאות, יכול לבחור פעם אחת מראה טבלאות (TableLook) פשוט יותר, ב־Edit > Options > Pivot Tables.
באקסל: בונים את הטבלה בגיליון, עם הנוסחאות, מעתיקים את הטווח ומדביקים ב־Word. את הקווים מסדרים ב־Word, לפי APA.
מצאו שלוש טעויות בפסקה הבאה: "במחקר השתתפו 60 יועצות. 80% נשים. הגיל הממוצע היה 41.2. ל־30 יועצות (50%) תואר שני; 10 יועצות לא דיווחו על השכלתן."
בדיקת התשובה
1. במגדר חסר המספר: 48 נשים (80%). 2. בגיל חסרים סטיית התקן והתחום, וגם היחידה: שנים. 3. האחוז של התואר השני חושב מתוך כל 60 היועצות, אבל רק 50 דיווחו. מתוך הערכים התקפים: 30 / 50 = 60%. ועוד חסר: מאיפה הגיעו היועצות, ואיך גויסו.
בדקו את עצמכם4 שאלות
1.מ־80 משתתפים, 72 דיווחו על מצב משפחתי, ו־54 מהם נשואים. איזה אחוז מדווחים?
2.הוותק של מורות במחקר מוטה מאוד (הטיה 1.7). איך כדאי לתאר אותו בפסקת המשתתפים?
3.בפלט: N = 150; Gender: 1 = 63, 2 = 87; Age: Mean = 34.27, Std. Deviation = 6.81, Minimum = 22, Maximum = 55 (1 = גבר, 2 = אישה). כתבו את המשפט על מגדר וגיל.
4.העתקתם טבלה מהפלט לעבודה הסמינריונית. מה מהבאים לא מתאים לטבלה בסגנון APA?
בתוכנה: הטיה, גבנוניות, דיאגרמת תיבה ומבחן נורמליות
נבדוק את מספר האחים (siblings). לפני הכול: חמשת ערכי ה־99 חייבים להיות מוגדרים כחסרים (פרק 8). אחרת הם יהיו ה"ערכים הקיצוניים" הכי בולטים בקובץ.
siblings היא עמודה I. מוחקים קודם את ערכי ה־99, או מחליפים אותם בתאים ריקים: הפונקציות של אקסל מדלגות על תאים ריקים.
siblings, בלי ערכי 99
| Formula | Result |
|---|---|
| =SKEW(I2:I201) | 0.6308 |
| =KURT(I2:I201) | 0.1224 |
| =QUARTILE.INC(I2:I201,3)+1.5*(QUARTILE.INC(I2:I201,3)-QUARTILE.INC(I2:I201,1)) | 6 |
| =COUNTIF(I2:I201,">6") | 2 |
- SKEW, KURT
- ההטיה והגבנוניות, עם התיקון למדגם. KURT מחזירה גבנוניות עודפת: אפס בהתפלגות נורמלית.
- הגדר העליונה
- Q3 + 1.5 · IQR, בנוסחה אחת. ואז
COUNTIFסופרת כמה ערכים מעליה. אם שכחתם למחוק את ה־99, היא תספור 7 ולא 2.
דיאגרמת תיבה: מסמנים את העמודה, ו־Insert > Insert Statistic Chart > Box and Whisker. אקסל מסמן גם את הממוצע, באות x. שימו לב: כברירת מחדל, אקסל מחשב את הרבעונים של הדיאגרמה בשיטה אחרת מ־QUARTILE.INC. אפשר לשנות ב־Format Data Series > Quartile Calculation, ולבחור Inclusive median. אין באקסל מבחן Shapiro-Wilk מובנה.
- Analyze > Descriptive Statistics > Explore. מעבירים את
siblingsל־Dependent List. להשוואה בין קבוצות, מעבירים משתנה ל־Factor List. - ב־Plots מסמנים Boxplots: Factor levels together, Histogram, ו־Normality plots with tests. האחרון נותן את מבחני הנורמליות ואת תרשים ה־Q-Q.
Descriptives
| Statistic | Std. Error | ||
|---|---|---|---|
| Number of siblings | Mean | 2.33 | .108 |
| 95% Confidence Interval for Mean, Lower Bound | 2.12 | ||
| 95% Confidence Interval for Mean, Upper Bound | 2.55 | ||
| 5% Trimmed Mean | 2.27 | ||
| Median | 2.00 | ||
| Variance | 2.285 | ||
| Std. Deviation | 1.512 | ||
| Minimum | 0 | ||
| Maximum | 7 | ||
| Range | 7 | ||
| Interquartile Range | 2 | ||
| Skewness | .631 | .174 | |
| Kurtosis | .122 | .346 | |
Tests of Normality
| Kolmogorov-Smirnova | Shapiro-Wilk | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Statistic | df | Sig. | Statistic | df | Sig. | |
| Number of siblings | .187 | 195 | .000 | .931 | 195 | .000 |
| a. Lilliefors Significance Correction | ||||||
- Skewness, Kurtosis
- ההטיה והגבנוניות, ולידן טעות התקןStandard error של כל אחת (ראו "הסיפור המלא" בסעיף 2).
- Interquartile Range
- התחום הבין־רבעוני, 2. SPSS מחשב רבעונים בשיטה מעט שונה מאקסל, אבל כאן התוצאה זהה.
- Shapiro-Wilk
- W = .931, ו־Sig. = .000. SPSS מעגל: הכוונה ל־p < .001, וכך כותבים בדיווח, אף פעם לא "p = .000". סטייה ברורה מנורמליות. df כאן הוא פשוט מספר הנבדקים.
- Confidence Interval, Trimmed Mean
- רווח סמךConfidence interval נלמד בפרק 19. הממוצע הקטום הוא ממוצע אחרי הורדת 5% מכל קצה: כאן 2.27, קרוב יותר לחציון מהממוצע הרגיל, עוד סימן להטיה.
בדיאגרמת התיבה של SPSS, ליד כל עיגול כתוב מספר השורה בקובץ. כאן: 43 ו־127. עיגול מסמן ערך שרחוק מהתיבה יותר מ־1.5 תחומים בין־רבעוניים, וכוכבית, ערך שרחוק יותר מ־3. שימו לב שהדיאגרמה של SPSS מחשבת את התיבה בשיטה של טוקי (Tukey's hinges), ולכן במדגמים קטנים היא יכולה להיות שונה מעט מהחישוב ביד.
- מוודאים ש־99 מוגדר כערך חסר בהגדרות הנתונים של JASP.
- Descriptives > Descriptive Statistics. מעבירים את
anx_pre,mind_preו־siblingsל־Variables. - ב־Statistics, תחת Distribution, מסמנים Skewness, Kurtosis ו־Shapiro-Wilk test.
- ב־Plots (Basic plots, Customizable plots) מסמנים Distribution plots, Boxplots עם Label outliers, ו־Q-Q plots.
Descriptive Statistics
| anx_pre | mind_pre | siblings | |
|---|---|---|---|
| Valid | 200 | 200 | 195 |
| Missing | 0 | 0 | 5 |
| Mean | 2.236 | 3.203 | 2.333 |
| Std. Deviation | 0.519 | 0.546 | 1.512 |
| Skewness | 0.222 | -0.166 | 0.631 |
| Std. Error of Skewness | 0.172 | 0.172 | 0.174 |
| Kurtosis | -0.536 | -0.151 | 0.122 |
| Std. Error of Kurtosis | 0.342 | 0.342 | 0.346 |
| Shapiro-Wilk | 0.982 | 0.992 | 0.931 |
| P-value of Shapiro-Wilk | 0.011 | 0.382 | < .001 |
| Minimum | 1.125 | 1.733 | 0.000 |
| Maximum | 3.750 | 4.467 | 7.000 |
- Skewness, Kurtosis
- אותם מספרים כמו באקסל וב־SPSS: כל שלוש התוכנות משתמשות באותן נוסחאות עם תיקון למדגם.
- Shapiro-Wilk, P-value
- W ו־p. בקשיבות, p = .382: אין סטייה מנורמליות. בחרדה, p = .011, ובמספר האחים, p < .001. על הפער בין החרדה למראה שלה בהיסטוגרמה, ראו סעיף 6.
- Boxplots, Label outliers
- מסמן ליד כל ערך קיצוני את מספר השורה שלו. בדיאגרמה של
siblings: 43 ו־127.
שמות האפשרויות והחלוקה לקבוצות במסך משתנים מעט בין גרסאות של JASP.
בדקו את עצמכם3 שאלות
1.באקסל, =KURT(B2:B101) החזיר −0.05. מה זה אומר?
1.ב־SPSS, בטבלת Descriptives של Explore, ב־Kurtosis כתוב −.05. מה זה אומר?
1.ב־JASP, בטבלת Descriptive Statistics, ב־Kurtosis כתוב −0.05. מה זה אומר?
2.בטבלה של מבחן הנורמליות, ערך pp-value של Shapiro-Wilk מוצג כ־.000. איך מדווחים?
3.סטודנטית מחשבת את מדד ההטיה למספר האחים, בלי שחמשת ערכי ה־99 הוגדרו כחסרים או נמחקו. מה צפוי לקרות לתוצאה, ולמה?
טעויות נפוצות
- קוראים את ההטיה לפי השיא. שיא בצד שמאל, ליד הערכים הנמוכים, פירושו זנב ימני: הטיה חיובית. השם נקבע לפי הזנב.
- "גבנוניות חיובית פירושה שיא מחודד". הגבנוניות מודדת את הזנבות, כמה ערכים רחוקים יש. לא את צורת השיא.
- מוחקים ערך קיצוני אוטומטית. קודם בודקים אם זו טעות. ערך אמיתי משאירים, ומחליטים איך לנתח, לפי כלל שנקבע מראש.
- מחפשים ערכים קיצוניים בכל המדגם כשמשווים קבוצות. ערך קיצוני הוא ביחס להתפלגות שלו. בודקים בתוך כל קבוצה.
- שוכחים להגדיר 99 כחסר. קוד של ערך חסר הופך ל"ערך קיצוני" ענק, ומקלקל את כל מדדי הצורה.
- מחליטים על נורמליות לפי Shapiro-Wilk לבד. במדגם גדול הוא מובהק גם בסטייה זניחה, ובמדגם קטן הוא מפספס. מסתכלים גם בגרף ובמדדים.
- כותבים "p = .000". כותבים p < .001.
- מחשבים אחוזים בפסקת המשתתפים מכל המדגם. מחשבים מתוך מי שענה, ומדווחים בנפרד כמה לא ענו.
בדקו את עצמכם
סיכום
- צורות: סימטרית, הטיה חיובית (זנב ימני, הממוצע מעל החציון), הטיה שלילית (זנב שמאלי, הממוצע מתחת לחציון), אחידה, דו־שיאית.
- הטיה: בערך הממוצע של z³. עד 0.5 בערך מוחלט: סימטרית בקירוב. 0.5 עד 1: בינונית. מעל 1: ברורה.
- גבנוניות: בערך הממוצע של z⁴, פחות 3. מודדת זנבות, לא שיא. חיובית: זנבות כבדים. שלילית: זנבות קלים. בין −1 ל־1: תקינה.
- דיאגרמת תיבה: תיבה מ־Q1 עד Q3, קו בחציון, שפמים עד הערכים שבתוך הגדרות, Q1 − 1.5·IQR ו־Q3 + 1.5·IQR. מחוץ להן: ערכים קיצוניים.
- ערך קיצוני: קודם בודקים אם זו טעות. לא מוחקים ערך אמיתי אוטומטית. בודקים בתוך כל קבוצה.
- נורמליות: היסטוגרמה, הטיה וגבנוניות, Q-Q, ו־Shapiro-Wilk. אף כלי לא מחליט לבד.
- פסקת המשתתפים: גודל ומקור המדגם, מגדר, גיל (M, SD, תחום), רקע, חסרים, קבוצות. אחוזים מתוך הערכים התקפים.
מונחים חדשים
שאלות לדוגמה, עם פתרונות
שאלות בסגנון מבחן, מהקלה אל הקשה. נסו לפתור לבד לפני שאתם פותחים את הפתרון.
זיהוי צורה. במשתנה מסוים, הממוצע 34, החציון 28, ומדד ההטיה 1.3. מהי צורת ההתפלגות, ואיזה צמד מדדים מתאים לתאר אותה?
בדיקת התשובה
הטיה חיובית ברורה: המדד מעל 1, והממוצע גבוה מהחציון, כי הזנב הימני מושך אותו למעלה. מתאים לדווח חציון ותחום בין־רבעוני, ואפשר להוסיף ממוצע וסטיית תקן.
דיאגרמת תיבה ביד. מספר הספרים שהשאילו 9 תלמידים מהספרייה בחודש (מסודר): 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 12. מצאו את הרבעונים, את הגדרות, את קצות השפמים ואת הערכים הקיצוניים, אם יש.
בדיקת התשובה
Q1: מיקום 1 + 0.25 · 8 = 3 → 1 חציון: מיקום 5 → 3 Q3: מיקום 7 → 4IQR = 4 − 1 = 3גדר תחתונה = 1 − 4.5 = −3.5 גדר עליונה = 4 + 4.5 = 8.5שפם תחתון: 0 שפם עליון: 5 12 > 8.5 ⟹ ערך קיצוניהתלמיד שהשאיל 12 ספרים הוא ערך קיצוני. השפם העליון נגמר ב־5, הערך הגבוה ביותר שבתוך הגדרות.
מדד הטיה ביד. ארבעה ערכים: 1, 2, 3, 6. M = 3, SD = 2.16. חשבו את מדד ההטיה, עם התיקון למדגם n / [(n − 1)(n − 2)]. האם התוצאה מתאימה למה שרואים בערכים?
בדיקת התשובה
z: (1 − 3) / 2.16 = −0.93, −0.46, 0, 1.39z³: −0.80, −0.10, 0, 2.69 ⟹ Σ = 1.79הטיה = 4 / (3 · 2) · 1.79 = 0.667 · 1.79 = 1.19הטיה חיובית ברורה. מתאים: שלושה ערכים צפופים בצד הנמוך, ו־6 רחוק לבד בצד הגבוה. התרומה שלו לבדה, 2.69, גדולה אפילו מהסכום כולו, 1.79.
קריאת פלט. חוקרת בדקה את מספר השעות שתלמידים משחקים במשחקי מחשב בשבוע. זה חלק מהפלט של SPSS:
Descriptives (חלקי) ו־Tests of Normality
Statistic Std. Error Mean 9.84 .62 Median 7.50 Std. Deviation 7.40 Skewness 1.42 .20 Kurtosis 2.65 .40 Shapiro-Wilk (df = 142) .871 Sig. = .000 א. תארו את צורת ההתפלגות במילים. ב. האם ההתפלגות נורמלית? נמקו בשני כלים. ג. איך תדווח החוקרת את המרכז והפיזור?
בדיקת התשובה
א. הטיה חיובית ברורה (1.42, מעל 1): רוב התלמידים משחקים מעט, ומעטים משחקים הרבה מאוד. הממוצע, 9.84, מעל החציון, 7.50. הגבנוניות 2.65, מעל 1: זנבות כבדים, כלומר יותר ערכים קיצוניים מבנורמלית. ב. לא. מדדי ההטיה והגבנוניות מחוץ לכללי האצבע, ו־Shapiro-Wilk מובהק: W = .871, p < .001. (לפי הכלל של טעות התקן: 1.42 / .20 = 7.1, הרבה מעל 3.29.) ג. חציון ותחום בין־רבעוני, ואפשר להוסיף ממוצע וסטיית תקן. וכדאי לבדוק בדיאגרמת תיבה מי הערכים הקיצוניים, ואם יש ביניהם טעויות, כמו 200 שעות בשבוע, שזה יותר מכל השעות שיש בשבוע.
פסקת משתתפים מפלט. במחקר על 120 גננות התקבל: 114 נשים; גיל M = 38.46, SD = 9.12, תחום 24–63; ותק בשנים: הטיה 1.35, חציון 9, רבעונים 4 ו־16; 108 דיווחו על השכלה, ומתוכן 81 עם תואר ראשון ומעלה. כתבו פסקת משתתפים.
בדיקת התשובה
"במחקר השתתפו 120 גננות, מהן 114 נשים (95.0%). גילן הממוצע היה 38.46 שנים (SD = 9.12, תחום 24–63). הוותק החציוני בהוראה היה 9 שנים (IQR = 12). ל־81 מתוך 108 הגננות שדיווחו על השכלתן (75.0%) היה תואר ראשון ומעלה. 12 גננות לא דיווחו על השכלתן."
114 / 120 = 95.0% 81 / 108 = 75.0% מתוך מי שדיווחוIQR = 16 − 4 = 12 120 − 108 = 12 חסריםהוותק מוטה (1.35), ולכן חציון ותחום בין־רבעוני. בפסקה אמיתית מוסיפים גם מאיפה ואיך גויסו הגננות.
תרגול עם הנתונים
הקבצים עצמם נמצאים גם בתיקיית data בחבילת הספר.
- חשבו באקסל את ההטיה והגבנוניות של התלונות הגופניות לפני התוכנית (
soma_pre, עמודה AK, סולם 1 עד 4). תארו את הצורה במילים. מה נותן מבחן Shapiro-Wilk ב־SPSS או ב־JASP, ואיך מיישבים?בדיקת התשובה
=SKEW(AK2:AK201)נותן 0.39, ו־=KURT(AK2:AK201)נותן −0.19. סימטרית בקירוב, עם נטייה קלה לזנב ימני (הממוצע 1.85, החציון 1.80), וזנבות כמו בנורמלית. Shapiro-Wilk: W = .970, p < .001. כמו בחרדה בסעיף 6: עם 200 תלמידים, וציון שמקבל רק ערכים בקפיצות של חמישית, המבחן תופס סטיות קטנות. לפי ההיסטוגרמה והמדדים, ההתפלגות קרובה מספיק לנורמלית לרוב הצרכים. - בנו ב־SPSS (Explore, עם
groupב־Factor List) או ב־JASP (עםgroupב־Split) דיאגרמות תיבה של הקשיבות אחרי התוכנית (mind_post). באילו קבוצות יש ערכים קיצוניים, ומי הם? מה הייתם עושים איתם?בדיקת התשובה
בקבוצת הביקורת, תלמיד 13, עם 1.53: הגדר התחתונה שם היא 2.667 − 1.5 · 0.733 = 1.57. בתוכנית המשולבת, תלמיד 199, עם 1.40: הגדר התחתונה 1.88. בתוכנית העקיפה אין. שני הערכים אפשריים בסולם של 1 עד 5, ולכן הם לא טעות הקלדה. משאירים אותם, ואם רוצים, מריצים את ההשוואה בין הקבוצות פעם עם שניהם ופעם בלעדיהם, ובודקים אם המסקנה משתנה. (במדגמים קטנים, רבעונים של SPSS עשויים להזיז מעט את הגדרות, אבל שני התלמידים האלה מחוץ להן בכל שיטה.)
- לשביעות הרצון מהחיים לפני התוכנית (
sat_pre) ההטיה 0.05 והגבנוניות −0.49. הריצו Shapiro-Wilk. מה יצא, ולמה זה לא סותר?בדיקת התשובה
W = .983, p = .018: מובהק, כלומר סטייה מנורמליות. אבל המדדים קרובים לאפס, והגבנוניות השלילית מצביעה רק על זנבות קצת קלים. הציון הוא ממוצע של 5 פריטים, ולכן יש לו רק 22 ערכים שונים בכל הקובץ, וב־200 נבדקים המבחן רגיש מספיק כדי לזהות את ה"מדרגות" ואת הזנבות הקלים. סטייה כזו לא מפריעה לרוב הניתוחים שנלמד.
- כתבו פסקת משתתפים רק לקבוצת התוכנית המשולבת (
group= 2). השתמשו ב־Filter (SPSS או JASP) או במיון (אקסל).בדיקת התשובה
"בקבוצת התוכנית המשולבת השתתפו 75 תלמידים משלוש כיתות בבית ספר אחד: 52 (69.3%) בכיתה ד׳ ו־23 (30.7%) בכיתה ה׳. 39 מהם (52.0%) היו בנות. גילם הממוצע היה 10.01 שנים (SD = 0.55, תחום 9.2–11.2). ל־39 מתוך 73 התלמידים שעליהם נמסר מידע (53.4%) היה הורה עם תואר אקדמי. מספר האחים החציוני היה 2 (IQR = 2, תחום 0–7)." על שני תלמידים לא נמסר מידע על השכלת ההורים, ועל שניים לא נמסר מספר האחים, ואת זה מוסיפים לפסקה. למה חציון לאחים? ההטיה בקבוצה הזו 0.77.
בפרק הבא: מיקום יחסיRelative position. עד עכשיו תיארנו התפלגות שלמה. עכשיו נשאל על ערך אחד: איפה הוא עומד ביחס לכל השאר? נכיר אחוזוניםPercentile וציוני תקן, את אותו z שכבר העלינו בחזקת שלוש וארבע, ונשתמש בהם כדי להשוות בין מבחנים שונים.
מקורות: American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). · Kim, H.-Y. (2013). Statistical notes for clinical researchers: Assessing normal distribution (2) using skewness and kurtosis. Restorative Dentistry & Endodontics, 38(1), 52–54. · Razali, N. M., & Wah, Y. B. (2011). Power comparisons of Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors and Anderson-Darling tests. Journal of Statistical Modeling and Analytics, 2(1), 21–33. · Shapiro, S. S., & Wilk, M. B. (1965). An analysis of variance test for normality (complete samples). Biometrika, 52(3–4), 591–611. · Tarrasch, R., & Berger, R. (2022). Comparing indirect and combined effects of mindfulness and compassion practice among schoolchildren on inter- and intra-personal abilities. Mindfulness. https://doi.org/10.1007/s12671-022-01955-y · Tukey, J. W. (1977). Exploratory data analysis. Addison-Wesley. · West, S. G., Finch, J. F., & Curran, P. J. (1995). Structural equation models with nonnormal variables: Problems and remedies. In R. H. Hoyle (Ed.), Structural equation modeling: Concepts, issues, and applications (pp. 56–75). Sage. · Westfall, P. H. (2014). Kurtosis as peakedness, 1905–2014. R.I.P. The American Statistician, 68(3), 191–195.