סטטיסטיקה מ־0 עד 100בטאתוכנהעומק

חלק ב: תיאור נתונים · פרק 13

מיקום יחסי: אחוזונים וציוני תקן

עד עכשיו תיארנו קבוצה שלמה של ערכים: איפה המרכז שלה, כמה היא מפוזרת, ומה הצורה שלה. בפרק הזה נסתכל על ערך אחד, ונשאל: איפה הוא עומד ביחס לכל השאר? נכיר שני כלים, אחוזוןPercentile וציון תקןz-score, נשתמש בהם כדי להשוות בין מבחנים שונים, ונלמד להעביר ציון מסולם אחד לסולם אחר.

שאלת הפתיחה

תלמידה מספר 5 בקובץ המחקר קיבלה 3 בשאלון החרדה, בסולם של 1 עד 4. זה הרבה?

המספר 3 לבדו לא עונה. התשובה תלויה בציונים של שאר התלמידים. בסוף הפרק תדעו לומר עליה שני משפטים מדויקים: כמה אחוזים מהתלמידים חרדים פחות ממנה, ובכמה סטיות תקן היא מעל הממוצע. ותגלו גם באיזה שאלון היא בולטת הכי הרבה בכל המדגם.

בסוף הפרק תוכלו

איפה הערך עומד ביחס לאחרים?

ציון לבדו לא אומר אם הוא גבוה או נמוך. מיקום יחסיRelative position משווה אותו לשאר הערכים, בשתי דרכים: אחוזון, כמה אחוזים מהערכים נמוכים ממנו, וציון תקן, בכמה סטיות תקן הוא רחוק מהממוצע. מיקום יחסי דורש לפחות סולם סדרOrdinal scale.

תלמיד קיבל 86 במבחן. זה גבוה? רובנו נגיד שכן. למה? כי יש לנו ניסיון עם ציונים מ־0 עד 100, ו־86 "מרגיש" גבוה. אבל עכשיו תלמידה קיבלה 3 בשאלון חרדה מ־1 עד 4. זה גבוה? אין לנו תחושה. אנחנו לא מכירים את הסולם.

וגם התחושה לגבי 86 יכולה להטעות. אם כמעט כל הכיתה קיבלה מעל 90, הציון 86 דווקא נמוך יחסית. ואם כמעט כולם קיבלו מתחת ל־60, הוא מצוין. כלומר, התשובה לשאלה "גבוה או נמוך?" תלויה תמיד ביחס למי משווים.

הדרך הפשוטה ביותר היא להשוות לשאר התלמידים. בפרק הזה נלמד לעשות זאת בשתי דרכים:

שימו לב לתנאי אחד: מיקום יחסיRelative position דורש שלסדר בין הערכים תהיה משמעות. מה יקרה אם נמיין את התלמידים לפי מגדר? אם בן הוא 1 ובת 2, הבנים יהיו ראשונים. אם נחליף קידוד, הבנות יהיו ראשונות. אותם נתונים, סדר הפוך. במשתנה שמי המספרים הם רק שמות (פרק 6), ולכן אין לאחוזון שום משמעות. אחוזון צריך לפחות סולם סדרOrdinal scale, וציון תקן, שמשתמש בממוצע ובסטיית התקן, צריך סולם רווחInterval scale או מנה.

הסיפור המלא: נורמות, או ביחס למי משווים

למבחנים פסיכולוגיים וחינוכיים מפורסמים יש נורמות: טבלאות שנבנו על מדגם גדול ומייצג, למשל אלפי ילדים בכל גיל. כשילד עובר את המבחן, הציון שלו מתורגם לאחוזון או לציון תקן ביחס לילדים בגילו. כך אפשר לומר על ילד בן 10 שהוא "באחוזון ה־30" גם בלי לראות אף ילד אחר.

בספר אין לנו נורמות כאלה. הנורמה שלנו היא 200 התלמידים בקובץ. זו "נורמה מקומית": היא אומרת איפה תלמידה עומדת ביחס לתלמידים במחקר הזה. אילו השווינו לתלמידים מבתי ספר אחרים, אותו ציון היה יכול לקבל מיקום אחר לגמרי. לכן בכל דיווח על מיקום יחסי כותבים גם את קבוצת ההשוואה.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.לאיזה מהמשתנים בקובץ המחקר אין משמעות לאחוזון?

2.שני תלמידים קיבלו 80, כל אחד במבחן אחר. במבחן א כמעט כל הכיתה קיבלה מעל 90. במבחן ב רוב הכיתה קיבלה מתחת ל־60. מה נכון?

3.חוקרת כתבה: "התלמיד נמצא באחוזון ה־85 בקשיבות." מה חסר במשפט, ולמה זה חשוב?

אחוזון ודירוג אחוזוני

שתי שאלות הפוכות. מאחוזון לציון: מהו הציון שמתחתיו נמצאים p אחוזים? המיקום ברשימה המסודרת הוא 1 + p·(n − 1). מציון לאחוזון: הדירוג האחוזוני הוא מספר הערכים הקטנים מהציון, חלקי n − 1, כפול 100. באקסל: PERCENTILE.INC ו־PERCENTRANK.INC.

אפשר לשאול על מיקום יחסי בשני כיוונים:

את הרבעוניםQuartile כבר פגשתם בפרק 11. הם פשוט אחוזונים מיוחדים: הרבעון הראשון הוא האחוזון ה־25, החציוןMedian הוא האחוזון ה־50, והרבעון השלישי הוא האחוזון ה־75.

מאחוזון לציון: נוסחת המיקוםPosition formula

מסדרים את הערכים מהקטן לגדול, ומוצאים את המיקום של האחוזון ברשימה. כש־p הוא האחוזון כמספר בין 0 ל־1 (0.8 לאחוזון ה־80):

מיקום = 1 + p · ( − 1)

אם המיקום הוא מספר שלם, הציון הוא הערך שנמצא שם. אם לא, לוקחים את הערך שלפניו, ומוסיפים את החלק המתאים מהמרחק לערך הבא. זו בדיוק השיטה של אקסל, בפונקציה PERCENTILE.INC, וגם בפונקציה QUARTILE.INC מפרק 11.

מציון לאחוזון: הדירוג האחוזוני

סופרים כמה ערכים קטנים מהציון. נקרא למספר הזה k. ואז:

PR = k − 1 · 100

הערך הנמוך ביותר מקבל 0, כי אין אף ערך מתחתיו. הערך הגבוה ביותר מקבל 100, כי כל האחרים, n − 1 ערכים, נמצאים מתחתיו. וזו הדרך ההפוכה לנוסחת המיקום: הערך שבמקום ה־8 מתוך 11 נמצא בדיוק באחוזון ה־70, כי 1 + 0.7 · 10 = 8. כך מחשבת גם PERCENTRANK.INC באקסל.

דוגמה פתורה: אחד־עשר ערכים

הערכים, מסודרים: 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 15, 17, 20, 24. כאן n = 11, ולכן n − 1 = 10.

האחוזון ה־20:   1 + 0.2 · 10 = 3 → הערך השלישי: 6
האחוזון ה־50:   1 + 0.5 · 10 = 6 → הערך השישי: 11 זה החציון
האחוזון ה־75:   1 + 0.75 · 10 = 8.5 → 15 + 0.5 · (17 − 15) = 16 באמצע בין הערך השמיני (15) לתשיעי (17)
הדירוג האחוזוני של 15:   7 / 10 · 100 = 70% שבעה ערכים קטנים מ־15
הדירוג האחוזוני של 3:   0 / 10 · 100 = 0%    ושל 24:   10 / 10 · 100 = 100%
דוגמה מהמחקר: החרדה של תלמידה מספר 5

בעמודת החרדה, anx_pre, יש 200 ציונים. 180 מהם קטנים מ־3, ועוד 9 תלמידים קיבלו בדיוק 3, כמו תלמידה מספר 5. הדירוג האחוזוני שלה:

PR = 180 / (200 − 1) · 100 = 180 / 199 · 100 = 90.45%

כלומר, כ־90% מהתלמידים חרדים פחות ממנה. ובכיוון ההפוך: מהו הציון שמעליו נמצאים 20% החרדים ביותר? זה האחוזון ה־80: המיקום 1 + 0.8 · 199 = 160.2 ברשימה המסודרת, והציון שם הוא 2.65. באקסל: =PERCENTILE.INC(AI2:AI201, 0.8).

הסיפור המלא: אין הגדרה אחת לאחוזון

מפתיע, אבל לאחוזון יש כמה הגדרות, וכל תוכנה בחרה אחת. סקירה מפורסמת מצאה תשע שיטות שונות בתוכנות הסטטיסטיות (Hyndman & Fan, 1996). בספר נשתמש בשיטה של אקסל, PERCENTILE.INC ו־PERCENTRANK.INC: מיקום 1 + p(n − 1), ודירוג k / (n − 1). אבל יש עוד:

כשיש הרבה ערכים וכמעט אין ערכים זהיםTies, ההבדלים קטנים. כשיש מעט ערכים, או הרבה ערכים זהים, הם יכולים להיות גדולים. אין כאן "נכון" ו"לא נכון". מה שחשוב הוא לדעת באיזו שיטה השתמשתם, ולהשתמש באותה שיטה לאורך כל העבודה.

מעבדה: מאחוזון לציון ומציון לאחוזון

מעבדה: אחוזונים. מחוון למעבר מאחוזון לציון, ולחיצה על נקודה למעבר מציון לדירוג אחוזוני. החישוב זהה לאקסל.פתיחה בחלון נפרד
משימות למעבדה
  1. ב"דוגמת הפרק" הזיזו את המחוון לאחוזון 75, ובדקו את החישוב מול הדוגמה הפתורה. ואז הזיזו לאחוזון 90: מה המיקום, ומה הציון?
  2. לחצו על הנקודה של הציון 15. כמה ערכים קטנים ממנו? ולחצו על הנקודה הראשונה והאחרונה.
  3. עברו לערכה השנייה, 30 ציונים בסטטיסטיקה. מהו האחוזון ה־80? ובאיזה אחוזון נמצא הציון 75?
בדיקת התשובה

1. אחוזון 75: מיקום 8.5, ציון 16. אחוזון 90: 1 + 0.9 · 10 = 10, מיקום שלם, והציון הוא הערך העשירי: 20. 2. שבעה ערכים קטנים מ־15, ולכן 7 / 10 = 70%. הנקודה הראשונה באחוזון 0, והאחרונה באחוזון 100. 3. המיקום 1 + 0.8 · 29 = 24.2, והציון 82.4. לציון 75 יש 17 ערכים קטנים ממנו: 17 / 29 = 0.586, כלומר כ־58.6%.

מעבדה: אחוזון ואחוז הקיצונייםTail proportion

במעבדה הבאה 20 תלמידים, ומשתמשים בהגדרה הפשוטה: כמה ערכים קטנים או שווים לערך, חלקי 20. היא מוסיפה גם את הכיוון ההפוך: כמה ערכים גדולים או שווים לערך. המספר הזה נקרא אחוז הקיצוניים. כלל אצבע: אם רק 5% מהערכים או פחות קיצוניים כמו הערך או יותר, נאמר שהוא ערך חריגUnusual value. זה כלל אחר מה"ערך הקיצוני" של דיאגרמת התיבה בפרק 12, שנקבע לפי 1.5 תחומים בין־רבעוניים. שימו לב לרעיון הזה: הוא יחזור בפרק 18, בשם ערך pp-value.

מעבדה: מיקום יחסי. בוחרים משתנה ותלמיד, ורואים כמה ערכים נמוכים ממנו או שווים לו, וכמה גבוהים ממנו או שווים לו.פתיחה בחלון נפרד
משימות למעבדה
  1. בחרו "מוטיבציה" ואת איתי (3.6). מה האחוזון שלו, ומה אחוז הקיצוניים? למה שני המספרים יחד יותר מ־100%?
  2. הזיזו את המחוון למעלה. מאיזה ערך המוטיבציה נחשבת "חריגה" לפי כלל ה־5%?
  3. עברו ל"שעות שיעורי בית". לאיתי 10 שעות, כמו ליעל, וזה הערך הגבוה בכיתה. מה האחוזון שלו, ומה אחוז הקיצוניים?
בדיקת התשובה

1. ל־13 תלמידים מוטיבציה של 3.6 או פחות: 13 / 20 = 65%. ל־8 תלמידים 3.6 או יותר: 40%. יחד 21 תלמידים, כי הערך של איתי עצמו נספר בשני הצדדים. 2. מ־4.5 ומעלה: רק תלמידה אחת, יעל, עם 4.6, היא "4.5 או יותר", כלומר 5%. ב־4.4 עדיין שניים, 10%. 3. אחוזון 100: כל 20 התלמידים קיבלו 10 או פחות. אחוז הקיצוניים: 2 מתוך 20, כלומר 10%, איתי ויעל. לא חריג. סופרים ערכים, לא אנשים: יעל נספרת כי יש לה בדיוק אותו ערך.

עצרו ונסו

תשעה תלמידים קראו השנה ספרים, מסודרים: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 15, 20.   א. מהו האחוזון ה־25?   ב. מהו האחוזון ה־90?   ג. באיזה אחוזון נמצא התלמיד שקרא 13 ספרים?   ד. ומי שקרא 2?

בדיקת התשובה
א. 1 + 0.25 · 8 = 3 → הערך השלישי: 5
ב. 1 + 0.9 · 8 = 8.2 → 15 + 0.2 · (20 − 15) = 16
ג. שישה ערכים קטנים מ־13:   6 / 8 · 100 = 75%
ד. אין ערך קטן מ־2:   0 / 8 · 100 = 0%
בדקו את עצמכם3 שאלות

1.בכיתה 16 תלמידים, ו־12 מהם קיבלו במבחן פחות מאורי. מהו הדירוג האחוזוני של אורי, בשיטה של הספר?

2.הערכים, מסודרים: 2, 5, 8, 9, 14, 20. מהו האחוזון ה־60?

3.בשביעות הרצון מהחיים (sat_pre), 158 תלמידים קיבלו פחות מ־6. מהו הדירוג האחוזוני של הציון 6, ומה הנוסחה באקסל? (sat_pre בעמודה AG.)

ציון תקן: כמה סטיות תקן מהממוצע

ציון תקן, z, הוא המרחק של ערך מהממוצע, ביחידות של סטיית תקן: z = (x − M) / SD. חיובי: מעל הממוצע. שלילי: מתחתיו. אפס: בדיוק בממוצע. ובכיוון ההפוך: x = M + z · SD.

דמיינו שאתם עומדים על רצפה של מרצפות, ורוצים לדעת כמה מרצפות אתם רחוקים מהקיר. מדדתם: 15 ס״מ. כל מרצפת היא 30 ס״מ. אז אתם רחוקים חצי מרצפת. מה עשיתם? לקחתם מרחק, וחילקתם אותו בגודל של יחידת המידה.

ציון תקן עושה בדיוק את זה. המרחק הוא ההפרש בין הציון לממוצע. יחידת המידה, "המרצפת", היא סטיית התקן (פרק 11). התוצאה אומרת בכמה סטיות תקן הציון רחוק מהממוצע:

z = x −      x = + z ·

הסימן אומר לאיזה כיוון: חיובי מעל הממוצע, שלילי מתחתיו. הגודל אומר כמה רחוק: ככל ש־z רחוק יותר מאפס, הערך נדיר יותר. ציון תקן 2 ומעלה, או −2 ומטה, כבר די נדיר, כמו שנראה בפרק 14.

הנוסחה השנייה היא אותה נוסחה, הפוכה: מציון תקן חוזרים לציון. הממוצע, ועוד z סטיות תקן.

דוגמה פתורה: מבחן בהבנת הנקרא

בכיתה, הממוצע במבחן 72 וסטיית התקן 8.

ציון 84:   z = (84 − 72) / 8 = 12 / 8 = 1.5 סטיית תקן וחצי מעל הממוצע
ציון 66:   z = (66 − 72) / 8 = −6 / 8 = −0.75 שלושה רבעים של סטיית תקן מתחת
ציון 72:   z = (72 − 72) / 8 = 0 בדיוק בממוצע
לתוכנית מצטיינים צריך z של 2 לפחות:   x = 72 + 2 · 8 = 88
דוגמה מהמחקר: שוב תלמידה מספר 5

בחרדה, הממוצע M = 2.24 וסטיית התקן SD = 0.52. תלמידה מספר 5 קיבלה 3:

z = (3 − 2.2356) / 0.5189 = 0.7644 / 0.5189 = 1.47

היא כמעט סטיית תקן וחצי מעל הממוצע. שימו לב: הגענו לזה בעזרת שני מספרים בלבד, הממוצע וסטיית התקן, בלי למיין אף ציון.

טעות נפוצה: מה יש במכנה?

במכנה של ציון התקן יש סטיית תקן. לא השונות, לא שורש של סטיית התקן, ולא SD / √n. את הביטוי האחרון נפגוש בפרק 17, בשם טעות התקןStandard error, כשנשאל על המיקום של ממוצע של מדגם. שם הרעיון יהיה אותו רעיון בדיוק, רק עם "מרצפת" אחרת.

הסיפור המלא: M ו־SD, או μ ו־σ

בספר הזה ציון תקן מחושב עם הממוצע וסטיית התקן של הנתונים שלנו, M ו־SD (עם n − 1, כמו תמיד). כשהממוצע וסטיית התקן של האוכלוסייה ידועים, למשל במבחן אינטליגנציה שבו הם נקבעו מראש, כותבים z = (x − μ) / σ. הרעיון זהה. נשתמש בגרסה הזו בפרק 14.

עצרו ונסו

במבחן זיכרון, הממוצע 30 פריטים וסטיית התקן 5.   א. מהו ציון התקן של מי שזכר 38?   ב. ושל מי שזכר 27?   ג. כמה פריטים זכר מי שציון התקן שלו 0.4?   ד. ומי שציון התקן שלו −1.2?

בדיקת התשובה
א. z = (38 − 30) / 5 = 1.6
ב. z = (27 − 30) / 5 = −0.6
ג. x = 30 + 0.4 · 5 = 32
ד. x = 30 + (−1.2) · 5 = 30 − 6 = 24
בדקו את עצמכם3 שאלות

1.בהרגשה בכיתה (clim_pre) הממוצע 3.47 וסטיית התקן 0.65. תלמיד מספר 4 קיבל 4.25. מהו ציון התקן שלו?

2.לתלמידה ציון תקן 0 במבחן. מה ידוע בוודאות?

3.בבעיות קשב (attn_pre) הממוצע 2.48 וסטיית התקן 0.71. מה הציון של תלמיד שציון התקן שלו ‎−1‎? והאם זה טוב בשבילו?

ממוצע 0, סטיית תקן 1

אם הופכים עמודה שלמה לציוני תקן, הממוצע שלהם תמיד 0, וסטיית התקן תמיד 1. אין להם יחידות, וצורת ההתפלגות לא משתנה. הסיבה: ציון תקן הוא טרנספורמציה לינאריתLinear transformation. מחסירים את הממוצע, ומחלקים בסטיית התקן.

בפרק 11 ראינו מה קורה לממוצע ולסטיית התקן כשמשנים את כל הערכים באותה דרך. הוספה או החסרה של קבוע מזיזה את הממוצע, ולא משנה את סטיית התקן. חלוקה בקבוע מחלקת גם את הממוצע וגם את סטיית התקן. ציון תקן עושה את שני הצעדים:

  1. מחסירים את הממוצע מכל ערך. הממוצע החדש: M − M = 0. סטיית התקן לא זזה.
  2. מחלקים בסטיית התקן. הממוצע נשאר 0 / SD = 0, וסטיית התקן החדשה: SD / SD = 1.

מכאן ארבע תכונות של ציוני תקן:

דוגמה פתורה באקסל: עמודה של ציוני תקן

בקובץ המחקר, anx_pre בעמודה AI, בשורות 2 עד 201. העמודה הפנויה הראשונה היא BD.

AI202:   =AVERAGE(AI2:AI201) → 2.2356 הממוצע, מתחת לנתונים
AI203:   =STDEV.S(AI2:AI201) → 0.5189 סטיית התקן, עם n − 1
BD2:   =(AI2-$AI$202)/$AI$203 → 1.23 תלמיד מספר 1, שקיבל 2.875. הסוגריים חובה
גוררים, או לוחצים פעמיים על הריבוע הקטן בפינת התא, עד BD201
BD202:   =AVERAGE(BD2:BD201) → 0.00 הממוצע של ציוני התקן
BD203:   =STDEV.S(BD2:BD201) → 1 סטיית התקן של ציוני התקן

אותה תוצאה בדיוק מקבלים בפונקציה =STANDARDIZE(AI2, $AI$202, $AI$203): הציון, הממוצע וסטיית התקן. ותלמידה מספר 5, בשורה 6, מקבלת 1.47, כמו בחישוב ביד.

ואם תבקשו מאקסל להציג את הממוצע בתא BD202 עם הרבה ספרות, אולי תראו משהו מוזר, כמו 1.2E-16. זה לא באג. זה 0.00000000000000012, כלומר אפס, עם טעות עיגול זעירה של המחשב. פגשנו את הכתיב הזה בפרק 2. עם =ROUND(AVERAGE(BD2:BD201), 2) רואים 0 נקי.

ומה קורה בלי הדולרים?

נניח שכתבתם בתא BD2 =(AI2-AI202)/AI203, בלי $. בתלמיד הראשון התוצאה נכונה. אבל כשגוררים, כל הכתובות זזות שורה למטה (פרק 3). בתא BD3 כתוב עכשיו =(AI3-AI203)/AI204: הנוסחה מחסירה את סטיית התקן במקום את הממוצע, ומחלקת בתא ריק. התוצאה: #DIV/0! בכל השורות, חוץ מהראשונה.

כאן לפחות אקסל צועק. אבל אם מעל או מתחת לממוצע היו במקרה מספרים אחרים, הייתם מקבלים עמודה שלמה של מספרים שגויים, בלי שום הודעה. לכן בכל נוסחה שגוררים, שואלים: איזה חלק צריך לזוז עם השורה (הציון של התלמיד), ואיזה חלק חייב להישאר קבוע (הממוצע וסטיית התקן)? את הקבוע מקבעים עם F4. ובסוף בודקים: ממוצע 0 וסטיית תקן 1. אם לא קיבלתם אותם, משהו בנוסחה לא בסדר.

הסיפור המלא: למה בדיוק 0, ולמה בדיוק 1?

הממוצע של ציוני התקן הוא 0 כי סכום המרחקים מהממוצע הוא תמיד 0: Σ(x − M) = 0. זו תכונת "נקודת האיזוןBalance point" של הממוצע מפרק 10. מחלקים אפס בסטיית התקן, ונשאר אפס.

וסטיית התקן היא 1 רק אם משתמשים באותה נוסחה של סטיית תקן בשני השלבים. בספר זה תמיד STDEV.S, עם n − 1. מי שיחשב את ציוני התקן עם STDEV.S, ואחר כך את סטיית התקן שלהם עם STDEV.P, יקבל √(199/200) = 0.9975 ולא 1. ההבדל קטן, אבל הוא סימן טוב לכך שהשיטות התערבבו. גם SPSS ו־JASP מחשבים ציוני תקן עם n − 1.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.הפכתם עמודה של 200 ציונים לציוני תקן. מה הסכום של כל ציוני התקן?

2.בתא BD2 כתוב =(AI2-$AI$202)/AI203: הממוצע מקובע, וסטיית התקן לא. גוררים עד שורה 201. מה יקרה בתא BD3?

3.במבחן קל, רוב התלמידים קיבלו ציונים גבוהים, ומעטים קיבלו ציונים נמוכים מאוד. איך תיראה ההתפלגות של ציוני התקן?

השוואה בין התפלגויותComparing distributions

כדי להשוות ציונים ממבחנים שונים, מחשבים לכל ציון ציון תקן לפי הממוצע וסטיית התקן של המבחן שלו, ומשווים את ציוני התקן. שתי זהירויות: כשציון נמוך הוא טוב, z שלילי הוא הישג. ואותו ציון יכול לקבל מיקום שונה מול קבוצות השוואה שונות.

לתלמידה מספר 5 יש ציונים בכמה שאלונים, כל אחד בסולם אחר. באיזה מהם היא בולטת הכי הרבה? הציונים הגולמיים לא עוזרים: 5.6 בשביעות רצון (מ־1 עד 7) ו־4.47 בקשיבות (מ־1 עד 5) הם מספרים בשפות שונות. ציון התקן מתרגם את כולם לאותה שפה:

השאלוןהסולםהציון שלהMSDz
שביעות רצון מהחיים (sat_pre)1–75.605.061.000.53
קשיבות (mind_pre)1–54.473.200.552.31
חרדה (anx_pre)1–43.002.240.521.47
בעיות קשב (attn_pre)1–53.642.480.711.62

בשביעות הרצון היא קצת מעל הממוצע, חצי סטיית תקן. בקשיבות היא בולטת מאוד: 2.31 סטיות תקן מעל הממוצע. זה ציון הקשיבות הגבוה ביותר בכל המדגם. אף שהמספר הגולמי, 4.47, קטן מ־5.6, היא בולטת בקשיבות הרבה יותר מאשר בשביעות הרצון.

ההשוואה עובדת בשלושה צעדים:

  1. מחשבים ציון תקן לכל ציון, לפי הממוצע וסטיית התקן של המשתנה שלו.
  2. משווים את ציוני התקן. ציון תקן גבוה יותר הוא מיקום יחסי גבוה יותר.
  3. בודקים את הכיוון. ציון גבוה בבעיות קשב פירושו יותר בעיות. ה־1.62 של תלמידה מספר 5 אומר שיש לה יותר בעיות קשב מרוב חבריה, וזה לא הישג. וכשציון נמוך הוא טוב, כמו זמן בריצה או מספר טעויות, ציון תקן שלילי הוא דווקא ההישג.

ביחס לאיזו קבוצה?

בטבלת הציר של פרק 10 ראינו שהבנות במחקר חרדות יותר מהבנים, בממוצע (בפרק 21 נבדוק אם ההבדל גדול מכדי להיות מקרי). לכן אותו ציון חרדה מקבל מיקום שונה, תלוי עם מי משווים:

קבוצת ההשוואהMSDz של הציון 3
כל 200 התלמידים2.240.521.47
הבנות בלבד (104)2.390.501.22
הבנים בלבד (96)2.070.491.91

תלמידה מספר 5 חרדה יותר מרוב הבנות, אבל בפחות ממה שנראה מול כל המדגם. ותלמיד מספר 172, בן שקיבל גם הוא 3, בולט הרבה יותר בין הבנים: כמעט שתי סטיות תקן. איזו קבוצה נכונה? תלוי בשאלה. יועצת שרוצה לדעת אם הילד חרד יותר מבני גילו ומינו תשווה לבנים. חוקרת שמתארת את כל הכיתה תשווה לכולם.

עצרו ונסו

א. יואב קיבל 78 בהבנת הנקרא (ממוצע הכיתה 70, סטיית תקן 4) ו־88 בחשבון (ממוצע 80, סטיית תקן 10). באיזה מקצוע הוא בולט יותר?

ב. באותו יום רץ יואב 60 מטר ב־9.0 שניות. בשכבה הממוצע 10.0 שניות וסטיית התקן 0.8. מהו ציון התקן שלו, והאם זה טוב?

בדיקת התשובה
הבנת הנקרא: z = (78 − 70) / 4 = 2.0
חשבון: z = (88 − 80) / 10 = 0.8
ריצה: z = (9.0 − 10.0) / 0.8 = −1.25

א. בהבנת הנקרא, אף שהציון הגולמי נמוך יותר. בשני המקצועות הוא 8 נקודות מעל הממוצע, אבל בהבנת הנקרא 8 נקודות הן שתי סטיות תקן. ב. ציון תקן שלילי, וזה טוב מאוד: בריצה זמן נמוך הוא הישג. הוא מהיר מהממוצע ביותר מסטיית תקן.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.תלמיד מספר 4 קיבל 5.8 בשביעות רצון (ממוצע 5.06, סטיית תקן 1.00) ו־4.25 בהרגשה בכיתה (ממוצע 3.47, סטיית תקן 0.65). באיזה שאלון הוא בולט יותר, יחסית לחבריו?

2.לתלמידה ציון תקן 1.2 בבעיות קשב (attn_pre) וציון תקן 0.8 בשביעות רצון. במה המצב שלה טוב יותר, יחסית לחבריה?

3.ילד בכיתה ד׳ קיבל במבחן קריאה ציון תקן −0.8 ביחס לכל תלמידי בית הספר (כיתות א׳ עד ו׳), אבל +0.3 ביחס לתלמידי כיתה ד׳ בלבד. איך ייתכן? ואיזה מספר מתאים יותר למורה שלו?

מעבר בין סולמותScale conversion

כדי להעביר ציון לסולם עם ממוצע וסטיית תקן אחרים, שומרים על ציון התקן: y = Mחדש + z · SDחדש. סולמות נפוצים: ציון T, עם ממוצע 50 וסטיית תקן 10, וסולם מנת המשכל, עם ממוצע 100 וסטיית תקן 15. המיקום היחסי נשמר.

ציוני תקן נוחים לחישוב, אבל לא נעימים לדיווח. להורים קשה לשמוע שלילד שלהם יש "−0.35 בקריאה". לכן מבחנים רבים מדווחים ציון בסולם קבוע מראש, עם ממוצע וסטיית תקן "עגולים". המעבר נעשה בשני צעדים: מהציון לציון תקן, ומציון התקן לסולם החדש.

y = חדש + z · חדש
הסולםממוצעסטיית תקןאיפה פוגשים אותוz = 1.47
ציון תקן (z)01חישובים סטטיסטיים1.47
ציון T5010שאלונים קליניים ופסיכולוגיים רבים64.7
סולם מנת המשכל10015מבחני אינטליגנציה122.1

בעמודה האחרונה, ציון החרדה של תלמידה מספר 5, בשלושה סולמות. בציוני T: 50 + 1.47 · 10 = 64.7. בסולם של 100 ו־15: 100 + 1.47 · 15 = 122.1. שלושה מספרים שונים, ומיקום יחסי אחד: סטייה וחצי, בערך, מעל הממוצע. (בחישוב השתמשנו ב־z המדויק, 1.4732.)

דוגמה פתורה: בשני הכיוונים

במבחן א הממוצע 40 וסטיית התקן 6. רוצים לדווח את התוצאות בסולם שבו הממוצע 100 וסטיית התקן 15.

ציון 49 במבחן א:   z = (49 − 40) / 6 = 1.5   →   y = 100 + 1.5 · 15 = 122.5
ובכיוון ההפוך, ציון 85 בסולם החדש:   z = (85 − 100) / 15 = −1   →   x = 40 + (−1) · 6 = 34

טעות נפוצה: להוסיף את ההפרש הגולמי לממוצע החדש, 100 + 9 = 109. זה שגוי: 9 נקודות במבחן א הן סטייה וחצי, ובסולם החדש סטייה וחצי היא 22.5 נקודות.

שימו לב שהמעבר הוא טרנספורמציה לינארית, בדיוק כמו בסעיף 4. לכן גם הוא לא משנה את צורת ההתפלגות. ציוני T של משתנה מוטה יהיו מוטים באותה מידה.

הסיפור המלא: אחוזון או ציון תקן? המרווחים לא שווים

אחוזון וציון תקן נשמעים כמו שתי דרכים לומר אותו דבר, אבל יש ביניהם הבדל חשוב. ציון תקן שומר על המרווחים: עלייה של רבע נקודה בחרדה היא תמיד עלייה של 0.25 / 0.52 = 0.48 בציון התקן, בכל מקום בסולם. אחוזון לא שומר עליהם:

עלייה של 0.25 בחרדההדירוג האחוזוניהשינוי
מ־2.25 ל־2.50, באמצע49.7% → 65.3%15.6 נקודות אחוז
מ־3.25 ל־3.50, בקצה97.5% → 99.5%2.0 נקודות אחוז

באמצע ההתפלגות הערכים צפופים, ולכן הפרש קטן "עוקף" הרבה תלמידים. בקצוות יש מעט תלמידים, ואותו הפרש כמעט לא משנה את האחוזון. כלומר, אחוזון הוא סולם סדר: הוא אומר מי לפני מי, אבל מרווחים שווים באחוזונים אינם מרווחים שווים בתכונה. לכן לא מחשבים ממוצע של אחוזונים, ולא משווים הפרשים של אחוזונים בין מקומות שונים בסולם. בפרק 14 נראה שבהתפלגות נורמליתNormal distribution יש קשר קבוע בין השניים, ושיש מבחנים שמשתמשים בו כדי להפוך אחוזונים לציוני תקן.

מעבדה: השוואה ומעבר בין סולמות

מעבדה: ציוני תקן. סטודנטית כתבה שתי בחינות עם ממוצעים וסטיות תקן שונים. משנים את הציונים, משווים את ציוני התקן, ומעבירים לסולם אחר.פתיחה בחלון נפרד
משימות למעבדה
  1. השאירו 86 בשתי הבחינות. מה ציון התקן בכל אחת, ובאיזו בחינה הסטודנטית הצליחה יותר, יחסית לכיתה?
  2. איזה ציון בפסיכולוגיה ייתן לה בערך אותו מיקום יחסי כמו 86 בסטטיסטיקה? חשבו, ואז בדקו במחוון.
  3. החליפו את הסולם החדש בין שלוש האפשרויות. מה קורה לציון של 86 בסטטיסטיקה, ומה לא משתנה?
בדיקת התשובה

1. סטטיסטיקה: (86 − 70.97) / 12.52 = 1.20. פסיכולוגיה: (86 − 82.37) / 5.87 = 0.62. אותו ציון גולמי, והצלחה יחסית גדולה יותר בסטטיסטיקה. 2. 82.37 + 1.20 · 5.87 = 89.4. במחוון: 89 נותן 1.13, ו־90 נותן 1.30. 3. הציון החדש הוא 62, 118 או 620, אבל ציון התקן, 1.20, לא משתנה. זה כל העניין: המיקום היחסי נשמר.

עצרו ונסו

שאלון קליני מדווח ציוני T (ממוצע 50, סטיית תקן 10).   א. לילדה ציון T של 70. מהו ציון התקן שלה?   ב. מה יהיה הציון שלה בסולם של 100 ו־15?   ג. ילד קיבל 18 בגרסה הגולמית של השאלון, שבה הממוצע 12 וסטיית התקן 4. מה ציון ה־T שלו?

בדיקת התשובה
א. z = (70 − 50) / 10 = 2
ב. y = 100 + 2 · 15 = 130
ג. z = (18 − 12) / 4 = 1.5   →   T = 50 + 1.5 · 10 = 65
בדקו את עצמכם3 שאלות

1.לתלמיד ציון תקן −0.8. מהו ציון ה־T שלו?

2.במבחן שמדווח בסולם עם ממוצע 100 וסטיית תקן 15, ילדה קיבלה 82. מה ציון ה־T שלה?

3.העבירו את ציון ההרגשה בכיתה של תלמיד מספר 4 (4.25; ממוצע 3.4725, סטיית תקן 0.6512) לציון T. מה יקרה לצורת ההתפלגות של clim_pre אם נעביר את כל הציונים לסולם T?

בתוכנה: אחוזונים וציוני תקן

בכל התוכנות נשתמש בחרדה לפני התוכנית, anx_pre. נחשב כמה אחוזונים, את הדירוג האחוזוני של הציון 3, ועמודה של ציוני תקן, ונבדק שהממוצע שלה 0 וסטיית התקן 1.

שלוש פונקציות, וכולן עובדות בשיטה שלמדנו ביד:

  • PERCENTILE.INC(טווח, p): מאחוזון לציון. את האחוזון כותבים כמספר בין 0 ל־1.
  • PERCENTRANK.INC(טווח, ציון): מציון לדירוג אחוזוני, כמספר בין 0 ל־1. כופלים ב־100 כדי לקבל אחוזים.
  • STANDARDIZE(ציון, ממוצע, סטיית תקן): ציון תקן. את הממוצע וסטיית התקן מחשבים בתאים נפרדים, ומפנים אליהם עם $.

anx_pre (AI2:AI201)

FormulaResult
80th percentile=PERCENTILE.INC(AI2:AI201, 0.8)2.65
90th percentile=PERCENTILE.INC(AI2:AI201, 0.9)2.8875
Percent rank of 3=PERCENTRANK.INC(AI2:AI201, 3)0.904
AI202 (mean)=AVERAGE(AI2:AI201)2.2356
AI203 (SD)=STDEV.S(AI2:AI201)0.5189
BD6 (pupil 5)=STANDARDIZE(AI6, $AI$202, $AI$203)1.47
BD202 (mean of z)=AVERAGE(BD2:BD201)0.00
BD203 (SD of z)=STDEV.S(BD2:BD201)1.00
2.65
האחוזון ה־80: 20% מהתלמידים חרדים יותר מ־2.65.
0.904
הדירוג האחוזוני של 3: 90.4%. שימו לב שהפונקציה חותכת לשלוש ספרות אחרי הנקודה, ולא מעגלת (180/199 הוא 0.90452). רוצים יותר ספרות? ארגומנט שלישי: =PERCENTRANK.INC(AI2:AI201, 3, 5).
1.47
ציון התקן של תלמידה מספר 5, בשורה 6.
0.00 ו־1.00
הבדיקה: הממוצע של עמודת ציוני התקן 0, וסטיית התקן 1. אם לא, בדקו את הדולרים.

אחוזונים: Analyze > Descriptive Statistics > Frequencies. מעבירים את anx_pre, מורידים את הסימון מ־Display frequency tables, ובכפתור Statistics מסמנים Quartiles, ותחת Percentile(s) מוסיפים 10, 80 ו־90.

Statistics

anx_pre
NValid200
Missing0
Percentiles101.6250
251.7500
502.2500
752.6250
802.7250
902.9875
80, 90
שונים מאקסל (2.65 ו־2.8875), כי SPSS מחשב את המיקום כ־p(n + 1). ברבעוניםQuartile ובאחוזון ה־10 התוצאות כאן זהות. ראו "הסיפור המלא" בסעיף 2.

ציוני תקן: Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives. מעבירים את anx_pre, ומסמנים למטה Save standardized values as variables. בסוף הקובץ נוסף משתנה חדש, Zanx_pre. כדי לבדוק אותו, מריצים Descriptives שוב, הפעם על Zanx_pre:

Descriptive Statistics

NMinimumMaximumMeanStd. Deviation
anx_pre2001.133.752.2356.51886
Zscore(anx_pre)200-2.140532.91868.00000001.00000000
Valid N (listwise)200
Zscore(anx_pre)
התווית של המשתנה החדש. ממוצע 0, סטיית תקן 1, כמו שציפינו. SPSS משתמש בסטיית התקן עם n − 1.
Minimum, Maximum
התלמיד הכי פחות חרד נמצא 2.14 סטיות תקן מתחת לממוצע, והכי חרד 2.92 מעליו.

לדירוג אחוזוני יש ב־SPSS Transform > Rank Cases, ובכפתור Rank Types האפשרות Fractional rank as %. שימו לב שזו עוד הגדרה: הדירוג חלקי n, וערכים זהים מקבלים את ממוצע הדירוגים שלהם. לציון 3 תקבלו 92.75, ולא 90.4.

אחוזונים: Descriptives > Descriptive Statistics. מעבירים את anx_pre ל־Variables, ותחת Statistics מסמנים Quartiles, ואם רוצים אחוזונים אחרים, Percentiles וכותבים אותם.

Descriptive Statistics

anx_pre
Valid200
Mean2.236
Std. Deviation0.519
25th percentile1.750
50th percentile2.250
75th percentile2.625

ציוני תקן: בתצוגת הנתונים לוחצים על + שליד שמות העמודות, נותנים שם (למשל z_anx), ובוחרים עמודה מחושבת (Computed column). בונים את הנוסחה בגרירה, או כותבים בקוד R:

(anx_pre - mean(anx_pre)) / sd(anx_pre)

לוחצים Compute column. הפונקציה sd מחלקת ב־n − 1, כמו בספר. ואז בודקים ב־Descriptives:

Descriptive Statistics

z_anx
Valid200
Mean0.000
Std. Deviation1.000
Minimum-2.141
Maximum2.919
Mean, Std. Deviation
0 ו־1: העמודה נכונה. אם JASP מציג ממוצע כמו -3.6e-16, זה אפס עם טעות עיגול, בדיוק כמו באקסל.
Percentiles
ברבעונים JASP, אקסל ו־SPSS מסכימים כאן. באחוזונים קיצוניים יותר התוכנות עשויות לתת מספרים שונים מעט, לפי השיטה שכל אחת בחרה.
בדקו את עצמכם3 שאלות

1.באיזו פונקציה באקסל מוצאים, לציון נתון, איזה אחוז מהערכים קטנים ממנו?

1.ב־SPSS, ב־Frequencies על anx_pre, הוספתם ב־Percentile(s) את 80, וקיבלתם 2.7250. מה המספר הזה?

1.ב־JASP, ב־Descriptive Statistics על anx_pre, סימנתם Percentiles וכתבתם 80. מה המספר שיופיע?

2.חברה חישבה אחוזון של משתנה מהקובץ פעם באקסל ופעם ב־SPSS, וקיבלה שני מספרים שונים. מי טעה?

3.באקסל כתבתם בתא BD2 =STANDARDIZE(AI2,$AI$202,$AI$203) וגררתם עד שורה 201. מה יש עכשיו בקובץ?

3.ב־SPSS סימנתם ב־Descriptives את Save standardized values as variables על המשתנה clim_pre. מה יופיע בקובץ?

3.ב־JASP יצרתם עמודה מחושבת z_anx עם הקוד (anx_pre - mean(anx_pre)) / sd(anx_pre). מה יופיע בקובץ?

טעויות נפוצות

בדקו את עצמכם

סיכום

מונחים חדשים

מיקום יחסיאחוזוןדירוג אחוזונינוסחת המיקוםאחוז הקיצונייםערך חריגציון תקןתכונות ציוני תקןהשוואה בין התפלגויותמעבר בין סולמותציון TנורמותPERCENTILE.INCPERCENTRANK.INCSTANDARDIZE

שאלות לדוגמה, עם פתרונות

שאלות בסגנון מבחן, מהקלה אל הקשה. נסו לפתור לבד, ורק אז פתחו את הפתרון.

  1. מאיה נמצאת באחוזון ה־30 בשאלון ההרגשה בכיתה, וציון התקן שלה הוא −0.5. כתבו במילים מה אומר כל אחד מהמספרים. האם היא מעל הממוצע או מתחתיו?

    בדיקת התשובה

    האחוזון ה־30: כ־30% מהתלמידים מרגישים בכיתה פחות טוב ממנה, וכ־70% מרגישים טוב יותר. ציון התקן −0.5: הציון שלה נמוך מהממוצע בחצי סטיית תקן. שני המספרים אומרים שהיא מתחת לממוצע: ציון תקן שלילי, ואחוזון נמוך מ־50. אבל הם עונים על שאלות שונות: האחוזון סופר תלמידים, וציון התקן מודד מרחק.

  2. שלושה־עשר ערכים, מסודרים: 4, 7, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 25, 30.   א. מהו האחוזון ה־40?   ב. מהו הדירוג האחוזוני של 15?   ג. ושל כל אחד משני ה־7?

    בדיקת התשובה

    כאן n = 13, ולכן n − 1 = 12.

    א. מיקום: 1 + 0.4 · 12 = 5.8 → בין הערך החמישי (10) לשישי (12)
    10 + 0.8 · (12 − 10) = 10 + 1.6 = 11.6
    ב. שבעה ערכים קטנים מ־15:   7 / 12 · 100 = 58.3%
    ג. ערך אחד קטן מ־7 (הערך 4):   1 / 12 · 100 = 8.3% לשני ה־7 אותו דירוג

  3. נועה קיבלה 34 במבחן מילולי (ממוצע 28, סטיית תקן 4) ו־61 במבחן כמותי (ממוצע 52, סטיית תקן 6).   א. באיזה מבחן המיקום היחסי שלה גבוה יותר?   ב. מה ציוני ה־T שלה?   ג. איזה ציון במבחן הכמותי נותן אותו מיקום יחסי כמו 30 במבחן המילולי?

    בדיקת התשובה
    א. מילולי: z = (34 − 28) / 4 = 1.5    כמותי: z = (61 − 52) / 6 = 1.5
    ב. T = 50 + 1.5 · 10 = 65, בשני המבחנים
    ג. z = (30 − 28) / 4 = 0.5   →   x = 52 + 0.5 · 6 = 55

    א. המיקום היחסי זהה, אף שההפרש בנקודות גדול יותר בכמותי (9 לעומת 6). בכמותי גם סטיית התקן גדולה יותר, ולכן 9 נקודות שם שוות ל־6 נקודות במילולי.

  4. קראו את הפלט של SPSS, אחרי Descriptives עם Save standardized values as variables על שביעות הרצון מהחיים, sat_pre.

    Descriptive Statistics

    NMinimumMaximumMeanStd. Deviation
    sat_pre2002.407.005.06401.00306
    Zscore(sat_pre)200-2.655871.93009.00000001.00000000
    Valid N (listwise)200

    א. מהו הציון הגולמי של התלמיד שציון התקן שלו 1.93?   ב. לתלמיד אחר ציון תקן −1.26. מה הציון שלו?   ג. למה ציון התקן הנמוך ביותר רחוק מאפס יותר מהגבוה ביותר?

    בדיקת התשובה
    א. 1.93009 הוא המקסימום של ציוני התקן, ולכן זה הציון הגבוה ביותר: 7.00
    בדיקה: (7 − 5.064) / 1.00306 = 1.93
    ב. x = 5.064 + (−1.26) · 1.00306 = 5.064 − 1.264 = 3.80

    ג. הציון הגבוה ביותר האפשרי בשאלון הוא 7, פחות משתי סטיות תקן מעל הממוצע. למטה יש יותר מקום: התלמיד הנמוך ביותר, עם 2.40, נמצא 2.66 סטיות תקן מתחת. ציון התקן שומר על הצורה: אם הזנב השמאלי ארוך יותר בציונים, הוא ארוך יותר גם בציוני התקן.

  5. במבחן, לתלמיד שקיבל 62 יש ציון תקן −0.5, ולתלמיד שקיבל 86 יש ציון תקן 1.5.   א. מהם הממוצע וסטיית התקן של המבחן?   ב. מהו ציון התקן של מי שקיבל 80?

    בדיקת התשובה

    בין שני התלמידים יש 24 נקודות, והם רחוקים זה מזה שתי סטיות תקן: מ־−0.5 עד 1.5.

    SD = (86 − 62) / (1.5 − (−0.5)) = 24 / 2 = 12
    M = 62 − (−0.5) · 12 = 62 + 6 = 68 62 נמוך מהממוצע בחצי סטיית תקן
    בדיקה: 68 + 1.5 · 12 = 86 ✓
    ב. z = (80 − 68) / 12 = 1

  6. בכיתה של דנה הממוצע במבחן 70 וסטיית התקן 10. דנה קיבלה 82. המורה "מתקנת" את כל הציונים לפי הכלל y = 0.8·x + 25.   א. מה הציון החדש של דנה?   ב. מה הממוצע החדש וסטיית התקן החדשה?   ג. מה ציון התקן של דנה לפני התיקון ואחריו? ומה עם הדירוג האחוזוני שלה?

    בדיקת התשובה
    א. y = 0.8 · 82 + 25 = 65.6 + 25 = 90.6
    ב. M = 0.8 · 70 + 25 = 81    SD = 0.8 · 10 = 8 הוספת 25 לא משנה את הפיזור (פרק 11)
    ג. לפני: z = (82 − 70) / 10 = 1.2    אחרי: z = (90.6 − 81) / 8 = 9.6 / 8 = 1.2

    ציון התקן לא השתנה, כי התיקון הוא טרנספורמציה לינארית עם מקדם חיובי. גם הדירוג האחוזוני לא השתנה: אף תלמיד לא עקף אף תלמיד אחר. כל הציונים עלו, אבל המיקום היחסי נשאר בדיוק כמו שהיה.

תרגול עם הנתונים

פתחו את קובץ המחקר ואת מילון המשתנים.

הקבצים עצמם נמצאים גם בתיקיית data בחבילת הספר.

  1. יועצת רוצה להזמין לשיחה את 10% התלמידים החרדים ביותר (anx_pre). מאיזה ציון ומעלה? ומה הייתה התשובה ב־SPSS?
    בדיקת התשובה

    זה האחוזון ה־90. באקסל: =PERCENTILE.INC(AI2:AI201, 0.9) נותן 2.8875. ב־SPSS (Frequencies): 2.9875. בפועל, 20 תלמידים קיבלו 3 ומעלה, כלומר בדיוק 10%. כשההגדרות נותנות תשובות שונות, כדאי להסתכל על הנתונים עצמם.

  2. חשבו את ציוני התקן של תלמיד מספר 1 בחרדה (anx_pre), בשביעות רצון (sat_pre) ובקשיבות (mind_pre). איפה הוא בולט, ולאיזה כיוון?
    בדיקת התשובה

    חרדה: 2.875, z = 1.23. שביעות רצון: 4.6, z = −0.46. קשיבות: 1.93, z = −2.32. הוא בולט בעיקר בקשיבות, והפעם כלפי מטה: יותר משתי סטיות תקן מתחת לממוצע. וגם חרד יותר מרוב חבריו. תמונה הפוכה כמעט לתלמידה מספר 5.

  3. צרו עמודת ציוני תקן ל־mind_pre (עמודה AH). בדקו את הממוצע ואת סטיית התקן שלה. כמה תלמידים רחוקים מהממוצע ביותר משתי סטיות תקן, לכל כיוון?
    בדיקת התשובה

    ממוצע 0 וסטיית תקן 1. מעל 2: חמישה תלמידים. מתחת ל־−2: שבעה. יחד 12, כלומר 6% מהתלמידים. באקסל: =COUNTIF(BD2:BD201,">2") ו־=COUNTIF(BD2:BD201,"<-2") (אם העמודה החדשה ב־BD). בפרק 14 נראה כמה היינו מצפים לפי ההתפלגות הנורמלית.

  4. העבירו את ציון החרדה של תלמיד מספר 1 לציון T. ובאיזה אחוזון הוא נמצא?
    בדיקת התשובה

    T = 50 + 1.2323 · 10 = 62.3. הדירוג האחוזוני: 166 תלמידים קיבלו פחות מ־2.875, ולכן 166 / 199 = 83.4%. באקסל: =PERCENTRANK.INC(AI2:AI201, 2.875) נותן 0.834.

  5. תלמיד מספר 172 הוא בן, וקיבל 3 בחרדה. מהו ציון התקן שלו ביחס לכל התלמידים, וביחס לבנים בלבד? איך מחשבים את השני באקסל?
    בדיקת התשובה

    ביחס לכולם: 1.47, כמו כל מי שקיבל 3. ביחס לבנים: (3 − 2.07) / 0.49 = 1.91. באקסל אפשר לחשב את הממוצע ואת סטיית התקן של הבנים עם AVERAGEIF, או עם טבלת ציר (פרק 9), או למיין לפי gender ולסמן רק את שורות הבנים.

בפרק הבא: ההתפלגות הנורמלית. נראה שכשההתפלגות בצורת פעמון, ציון התקן לבדו מספיק כדי לדעת איזה אחוז מהתלמידים נמצא מתחת לערך, בלי למיין אף ציון. ונבדוק מתי מותר להניח פעמון כזה.

מקורות: Tarrasch, R., & Berger, R. (2022). Comparing indirect and combined effects of mindfulness and compassion practice among schoolchildren on inter- and intra-personal abilities. Mindfulness. https://doi.org/10.1007/s12671-022-01955-y · Hyndman, R. J., & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.