חלק ב: תיאור נתונים · פרק 11

מדדי פיזור

בפרק הקודם שאלנו איפה נמצא המרכז של הנתונים. עכשיו נשאל שאלה לא פחות חשובה: כמה הערכים שונים זה מזה? נכיר את התחוםRange ואת הרבעוניםQuartile, את השונותVariance ואת סטיית התקןStandard deviation, נבין למה מחלקים ב־n − 1, ונראה מה קורה לפיזורMeasure of dispersion כשמוסיפים נקודות לכל הציונים או ממירים אותם לסולם אחר. סטיית התקן תלווה אותנו מכאן ועד סוף הספר.

שאלת הפתיחה

בשתי כיתות במחקר, ממוצע החרדה לפני התוכנית כמעט זהה: 2.16 ו־2.11. האם הכיתות דומות?

בממוצע, כן. אבל בכיתה אחת יש תלמידים רגועים מאוד ותלמידים חרדים מאוד, ובשנייה כמעט כולם קרובים לממוצע. הממוצע לא רואה את ההבדל הזה. בסוף הפרק תדעו למדוד אותו במספר אחד.

בסוף הפרק תוכלו

לחשב תחום, רבעונים ותחום בין־רבעוניInterquartile range, ולהסביר למה התחום הבין־רבעוני עמידRobustness לערכים קיצונייםOutlier.
לחשב ביד סכום ריבועיםSum of squares, שונות וסטיית תקן, ולפרש את סטיית התקן במילים.
להסביר למה הספר מחלק תמיד ב־n − 1, ולבחור את הפונקציה הנכונה באקסל.
לחשב מה קורה לממוצע ולסטיית התקן כשמוסיפים קבוע או כופלים בקבוע.
לקבל את כל מדדי הפיזור באקסל, ב־SPSS וב־JASP, ולקרוא את הפלט.

ממוצע אחד, תמונות שונות

מדד מרכזMeasure of central tendency אומר איפה הערכים נמצאים. מדד פיזור אומר כמה הם שונים זה מזה, או כמה הם מתפזרים סביב המרכז. שתי קבוצות עם אותו ממוצע יכולות להיות שונות מאוד בפיזור, ולכן מדווחים תמיד את שניהם.

נחזור לשתי הכיתות מהפתיחה. בגרף, כל נקודה היא תלמיד, והמיקום שלה הוא ציון החרדה שלו לפני התוכנית (anx_pre, מ־1 עד 4). הקו השחור הוא הממוצע של הכיתה, והרצועה הצבעונית מסמנת סטיית תקן אחת מכל צד שלו. את סטיית התקן נכיר בסעיף 3.

ציוני החרדה לפני התוכנית בכיתה 1 (למעלה) ובכיתה 6 (למטה). כל נקודה היא תלמיד, הקו הוא הממוצע, והרצועה היא סטיית תקן אחת מכל צד שלו.

כיתה			חציון	הנמוך ביותר	הגבוה ביותר
1 (ביקורת)	27	2.16	2.00	1.375	3.750	0.62
6 (תוכנית משולבת)	26	2.11	2.00	1.500	3.125	0.42

הממוצע כמעט זהה, וגם החציוןMedian. אבל בכיתה 1 הנקודות מפוזרות על פני רוב הסולם, ובכיתה 6 הן צפופות סביב האמצע. מורה שתקבל רק את הממוצע תחשוב שמדובר באותה כיתה. מורה שתראה גם את הפיזור תדע שבכיתה 1 יש כמה תלמידים שזקוקים לתשומת לב מיוחדת.

לכן לצד כל מדד מרכזMeasure of central tendency מדווחים מדד פיזור: מספר שאומר כמה הערכים שונים זה מזה. נכיר ארבעה: התחום, התחום הבין־רבעוני, השונות וסטיית התקן. כמו מדדי המרכז, גם הם דורשים סולם מתאים (פרק 6): רבעונים מסולם סדרOrdinal scale ומעלה. התחום והתחום הבין־רבעוני הם הפרשים, ולכן בסולם סדר מדווחים את הקצוות עצמם, למשל Q1 ו־Q3, ולא את ההפרש ביניהם. שונות וסטיית תקן מסולם רווחInterval scale ומעלה.

הסיפור המלא: פיזור הוא לא "רעש"

קל לחשוב על פיזור כעל משהו מפריע, הסטייה מהממוצע ה"אמיתי". אבל בחינוך ובפסיכולוגיה, הפיזור הוא לעיתים קרובות הסיפור עצמו. למה תלמידים באותה כיתה שונים כל כך בחרדה? מה מבדיל בין מי שנהנה מהתוכנית למי שלא? בפרק 26 נראה שניתוח שונותOne-way ANOVA מפרק את הפיזור לחלקים: חלק שמוסבר על ידי הקבוצה, וחלק שנשאר בתוך הקבוצות. בלי מדד פיזור טוב, אי אפשר לשאול את השאלות האלה בכלל.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.בשתי קבוצות של תלמידים, החציוןMedian של זמן ההגעה לבית הספר הוא 15 דקות. מה אפשר לומר על הפיזור בשתי הקבוצות?

2.לאיזה משתנה אי אפשר לחשב סטיית תקן בעלת משמעות?

3.מנהלת קיבלה דוח: "ממוצע הציונים במתמטיקה בשכבה: 78". איזה מידע חסר לה כדי להחליט אם צריך לפתוח קבוצת תגבור, ולמה?

תחום ורבעונים

תחום = הערך הגבוה ביותר פחות הנמוך ביותר. פשוט, אבל רגיש מאוד לערך קיצוני אחד. רבעונים מחלקים את הערכים המסודרים לארבעה חלקים שווים. תחום בין־רבעוני = Q3 − Q1: הרוחב של חצי הערכים האמצעיים. הוא עמיד לערכים קיצוניים.

תחום (Range)

המדד הפשוט ביותר: המרחק בין הערך הגבוה ביותר לנמוך ביותר. בכיתה 1, 3.750 − 1.375 = 2.375. בכיתה 6, 3.125 − 1.500 = 1.625. התחום כבר מראה שבכיתה 1 הפיזור גדול יותר.

היתרון: קל לחשב וקל להבין. החיסרון: התחום תלוי רק בשני ערכים, הקיצוניים ביותר. מספיק תלמיד אחד יוצא דופן, והתחום כולו משתנה. וגם: הוא לא אומר כלום על כל מה שקורה באמצע.

רבעונים ותחום בין־רבעוני

מסדרים את הערכים מהקטן לגדול, ומחלקים אותם לארבעה חלקים שווים. שלוש נקודות החלוקה הן הרבעונים:

Q1, הרבעון הראשון: רבע מהערכים קטנים ממנו או שווים לו.
Q2, הרבעון השני: החציון. חצי מהערכים מתחתיו.
Q3, הרבעון השלישי: שלושה רבעים מהערכים קטנים ממנו או שווים לו.

התחום הבין־רבעוני, IQR (Interquartile Range), הוא Q3 − Q1: הרוחב של חצי הערכים שבאמצע. הרבע הנמוך והרבע הגבוה לא נכנסים אליו בכלל, ולכן, כמו החציון, הוא כמעט לא מושפע מערך קיצוני. מדד כזה נקרא עמיד. לכן מדווחים את התחום הבין־רבעוני לצד החציון, ואת סטיית התקן לצד הממוצע.

איך מוצאים רבעון? יש כמה שיטות, והן נותנות תוצאות קצת שונות במדגמים קטנים. בספר נשתמש בשיטה של אקסל, QUARTILE.INC: המיקום של הרבעון ברשימה המסודרת הוא

מיקום = 1 + p · (n − 1) p = 0.25 ל־Q1, 0.5 לחציון, 0.75 ל־Q3

אם המיקום אינו מספר שלם, למשל 2.5, לוקחים את האמצע בין הערך השני לשלישי. ואם הוא 3.25, לוקחים את הערך השלישי ועוד רבע מהדרך לרביעי.

דוגמה פתורה: רבעונים ביד

תשעה תלמידים דיווחו כמה ספרים קראו בחופש הגדול. מסודרים: 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 15, 20. מצאו את התחום, את הרבעונים ואת התחום הבין־רבעוני.

תחום = 20 − 3 = 17

Q1: 1 + 0.25 · (9 − 1) = 3 → הערך השלישי: Q1 = 6

Q2: 1 + 0.5 · 8 = 5 → הערך החמישי: חציון = 9

Q3: 1 + 0.75 · 8 = 7 → הערך השביעי: Q3 = 12

IQR = Q3 − Q1 = 12 − 6 = 6 חצי התלמידים שבאמצע קראו בין 6 ל־12 ספרים

ומה אם התלמיד שקרא 20 ספרים היה קורא 50? התחום היה קופץ ל־47, והתחום הבין־רבעוני היה נשאר 6. זו בדיוק העמידות.

ובקובץ המחקר? ציוני החרדה של 200 התלמידים לפני התוכנית נעים בין 1.125 ל־3.75, ולכן התחום הוא 2.625. הרבעונים: Q1 = 1.75, חציון 2.25, Q3 = 2.625. כלומר, חצי מהתלמידים נמצאים ברצועה ברוחב 0.875 בלבד, באמצע הסולם.

עצרו ונסו

תשעה תלמידים חיכו להסעה. זמני ההמתנה בדקות, מסודרים: 2, 4, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 30. א. מהו התחום? ב. מהם Q1 ו־Q3, ומהו התחום הבין־רבעוני? ג. התברר שה־30 היה טעות הקלדה, והערך הנכון הוא 14. מה משתנה: התחום, התחום הבין־רבעוני, או שניהם?

בדיקת התשובה

תחום = 30 − 2 = 28

Q1: מיקום 3 → 4 Q3: מיקום 7 → 10

IQR = 10 − 4 = 6

אחרי התיקון: תחום = 14 − 2 = 12, IQR = 6

רק התחום השתנה, וירד ביותר מחצי. הרבעונים לא זזו, כי הערך הגבוה ביותר לא נכנס אליהם.

הסיפור המלא: למה כל תוכנה נותנת רבעון קצת אחר

אין הגדרה אחת ויחידה לרבעון, והספרות מונה לפחות תשע שיטות (Hyndman & Fan, 1996). השיטה של אקסל, QUARTILE.INC, משתמשת במיקום 1 + p(n − 1), וכך גם R כברירת מחדל. SPSS, בפקודה Frequencies, משתמש במיקום p(n + 1), וזו גם השיטה של QUARTILE.EXC באקסל. ובפקודה Explore, לדיאגרמת התיבה, SPSS מחשב עוד גרסה, "צירי טוקי" (Tukey's hinges).

במדגם גדול ההבדלים זעירים, ובציוני החרדה של כל 200 התלמידים כל השיטות נותנות בדיוק אותו דבר. במדגם קטן הם כן נראים: בכיתה 1, עם 27 תלמידים, אקסל נותן Q3 = 2.625 ו־IQR של 1.00, ו־SPSS נותן Q3 = 2.75 ו־IQR של 1.125. אף אחד מהם לא טועה. כשמדווחים, כותבים באיזו תוכנה חישבתם, ולא משווים רבעונים שחושבו בתוכנות שונות.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.שבעה תלמידים, ומספר הפעמים שהשתתפו בחוג השבוע (מסודר): 2, 3, 5, 6, 8, 11, 20. מהו התחום הבין־רבעוני, בשיטה של QUARTILE.INC?

2.ברשימה של 50 ציונים, הציון הגבוה ביותר הוקלד בטעות 980 במקום 98. איזה מדד ישתנה הכי הרבה?

3.בציוני החרדה אחרי התוכנית (anx_post), Q1 = 1.625 ו־Q3 = 2.375. נסחו במשפט אחד מה אומר התחום הבין־רבעוני.

סכום ריבועים, שונות וסטיית תקן

לכל ערך מחשבים את הסטייה מהממוצע, ומעלים אותה בריבוע. הסכום הוא סכום הריבועים, SS. שונות: s² = SS / (n − 1). סטיית תקן: SD = √s², בערך המרחק הטיפוסי של ערך מהממוצע, ביחידות המקוריות.

התחום והרבעונים משתמשים רק בחלק מהערכים. אנחנו רוצים מדד שמשתמש בכולם, כמו הממוצע. הרעיון: לשאול כל ערך "כמה אתה רחוק מהממוצע?", ולסכם את התשובות.

הבעיה, שכבר פגשנו בפרק 2 ובפרק 10: סכום הסטיות מהממוצע הוא תמיד אפס. הסטיות החיוביות והשליליות מקזזות זו את זו בדיוק, בכל רשימת מספרים. לכן אי אפשר פשוט למצע אותן. הפתרון: מעלים כל סטייה בריבוע. ריבוע הוא תמיד חיובי, ואין יותר קיזוז.

אז יש שלושה צעדים:

סכום הריבועים, SS (Sum of Squares): סוכמים את הסטיות מהממוצע, בריבוע.
שונות: מחלקים את סכום הריבועים במספר הערכים פחות אחד, n − 1. זה כמעט "הריבוע הממוצע". למה פחות אחד? בסעיף הבא.
סטיית תקן: מוציאים שורש מהשונות.

SS = (x − )² = SSn − 1 = √s²

דוגמה פתורה: שונות וסטיית תקן צעד אחר צעד

חמישה תלמידים פתרו דף עבודה, ואלה מספרי הטעויות שלהם: 2, 4, 4, 5, 10.

x	x − M	(x − M)²
2	−3	9
4	−1	1
4	−1	1
5	0	0
10	5	25
Σ = 25	Σ = 0	Σ = 36

M = 25 / 5 = 5

SS = 9 + 1 + 1 + 0 + 25 = 36 סכום הריבועים

s² = 36 / (5 − 1) = 36 / 4 = 9 השונות

SD = √9 = 3 סטיית התקן

שימו לב לעמודה האמצעית: הסטיות מסתכמות לאפס, בדיוק כמו שהבטחנו. ושימו לב גם מי תורם הכי הרבה לסכום הריבועים: התלמיד עם 10 טעויות. הסטייה שלו, 5, הופכת ל־25, יותר משני שלישים מכל הסכום.

מה סטיית התקן אומרת

בערך, המרחק הטיפוסי של ערך מהממוצע. בדוגמה, תלמיד טיפוסי רחוק בערך 3 טעויות מהממוצע, 5.
היא ביחידות של הנתונים. אם מדדנו טעויות, סטיית התקן היא בטעויות. השונות, לעומת זאת, ב"טעויות בריבוע", ולכן קשה לפרש אותה ישירות. בשביל זה מוציאים שורש.
היא תמיד אפס או חיובית. אפס פירושו שכל הערכים שווים, ואין פיזור בכלל.
היא רגישה לערכים קיצוניים. כמו הממוצע, היא משתמשת בכל ערך ובגודל שלו, וערך רחוק תורם ריבוע גדול.

ובקובץ המחקר? לציוני החרדה לפני התוכנית, M = 2.24 ו־SD = 0.52. כלומר, תלמיד טיפוסי רחוק בערך חצי נקודה מהממוצע, על סולם מ־1 עד 4. ובשתי הכיתות מהפתיחה: 0.62 בכיתה 1, ו־0.42 בכיתה 6. המספר שחיפשנו.

הסיפור המלא: למה ריבוע, ולא ערך מוחלט?

אפשר היה לפתור את בעיית הקיזוז גם בדרך אחרת: לקחת את הערך המוחלט של כל סטייה, בלי הסימן, ולמצע. המדד הזה קיים, והוא נקרא הסטייה הממוצעת המוחלטת. בדוגמה: (3 + 1 + 1 + 0 + 5) / 5 = 2. הוא אינטואיטיבי, ואפילו קצת פחות רגיש לערכים קיצוניים. אז למה כל העולם משתמש בריבועים?

כי לריבועים יש תכונות מתמטיות נוחות מאוד. הראשונה: סכומי ריבועים אפשר לפרק לחלקים ולחבר מחדש. על זה בנוי כל ניתוח השונות (פרק 26) וכל הרגרסיה (פרק 28). השנייה: השונות של סכום או של הפרש של שני משתנים מחושבת בנוסחה פשוטה, ונפגוש אותה בפרק 21. השלישית: ההתפלגות הנורמלית (פרק 14) מוגדרת ישירות דרך סטיית התקן. ערך מוחלט לא נותן אף אחת מהתכונות האלה.

מעבדה: סטיית התקן, צעד אחר צעד

מעבדה: סטיית התקן, צעד אחר צעד. כל ריבוע בגרף הוא סטייה מהממוצע בריבוע. השונות היא בערך "הריבוע הממוצע", וסטיית התקן היא הצלע שלו.פתיחה בחלון נפרד

משימות למעבדה

בחרו "דוגמת הפרק" ובדקו את הטבלה מול הדוגמה הפתורה למעלה.
השוו בין "פיזור קטן" ל"פיזור גדול". מה קורה לריבועים בגרף ולסטיית התקן?
חזרו לדוגמת הפרק, ולחצו "הוסיפו ערך קיצוני (20)". פי כמה גדלה סטיית התקן? ומה קרה לתחום?

בדיקת התשובה

1. סכום הריבועים 36, שונות 9, סטיית תקן 3. 2. בפיזור הקטן (4, 5, 5, 5, 6) הריבועים זעירים, וסטיית התקן 0.71. בפיזור הגדול (1, 2, 5, 8, 9) הם גדולים, וסטיית התקן 3.54. 3. עם הערך 20 הממוצע עולה ל־7.5, סכום הריבועים קופץ ל־223.5, וסטיית התקן ל־6.69: יותר מפי שניים, בגלל ערך אחד. התחום גדל מ־8 ל־18.

עצרו ונסו

חמישה תלמידים, ומספר הימים שבהם תרגלו בבית בחודש האחרון: 3, 7, 7, 9, 14. חשבו את הממוצע, את סכום הריבועים, את השונות ואת סטיית התקן.

בדיקת התשובה

M = 40 / 5 = 8

סטיות: −5, −1, −1, 1, 6 הסכום: אפס

SS = 25 + 1 + 1 + 1 + 36 = 64

s² = 64 / 4 = 16

SD = √16 = 4

בדקו את עצמכם4 שאלות

1.ארבעה תלמידים, ומספר השאלות שענו נכון בחידון: 6, 8, 10, 12. מהי סטיית התקן?

2.שאלון החרדה נמדד בסולם 1 עד 4. באילו יחידות נמדדת השונות של ציון החרדה?

3.לכל 28 התלמידים בכיתה יש בדיוק 2 אחים. מהי סטיית התקן של מספר האחים בכיתה?

4.בשתי רשימות יש חמישה ערכים, עם אותו ממוצע, 10. ברשימה א הסטיות הן −2, −1, 0, 1, 2. ברשימה ב הן −1, −1, 0, −1, 3. לאיזו רשימה סטיית תקן גדולה יותר? הסבירו בלי לחשב עד הסוף.

חלקי n, או חלקי n − 1?

בספר מחלקים תמיד ב־n − 1, כי כמעט תמיד סטיית התקן של המדגם משמשת אומדןEstimate לסטיית התקן באוכלוסייה, σ. חלוקה ב־n נותנת, בממוצע, ערך קטן מדי. באקסל: STDEV.S ו־VAR.S. SPSS ו־JASP מחלקים ב־n − 1 תמיד.

200 התלמידים שלנו הם מדגם. מה שמעניין אותנו הוא לא רק כמה הם מפוזרים, אלא כמה מפוזרים כל התלמידים בגילם, האוכלוסייה כולה. את סטיית התקן של האוכלוסייה מסמנים באות היוונית σ (סיגמה קטנה), ואת הממוצע שלה ב־. שניהם לא ידועים, ואנחנו אומדיםEstimator אותם מהמדגם. ולכן בספר, מהרגע הראשון, סטיית התקן של מדגם היא אומדןEstimate ל־σ.

ולאומדן טוב, צריך לחלק ב־n − 1. למה? הנה האינטואיציה, בלי הוכחה.

באוכלוסייה, המרחקים נמדדים מהממוצע של האוכלוסייה, μ. אבל μ לא ידוע לנו, ולכן אנחנו מודדים מרחקים מממוצע המדגם, M. וממוצע המדגם מחושב מאותם ערכים בדיוק, ולכן הוא תמיד "באמצע" שלהם. למעשה, M הוא הנקודה שסכום הריבועים ממנה הוא הקטן ביותר האפשרי. מכל נקודה אחרת, כולל μ, סכום הריבועים יהיה גדול יותר. לכן סכום הריבועים של המדגם קטן מדי, בממוצע. חלוקה במספר קטן יותר, n − 1, מתקנת את זה בדיוק.

דרגות חופש: הגבהים בעיניים עצומותDegrees of freedom

יש עוד דרך להבין את ה"פחות אחד". נניח שאני רוצה לחשב את הגובה הממוצע של סטודנטיות בכיתה, ואני עוצם עיניים. כל אחת אומרת לי את הגובה שלה. האם כל אחת חופשית להגיד מה שהיא רוצה? כן. אני לא רואה, ואין לי דרך לדעת. כל הערכים חופשיים.

עכשיו אני רוצה לחשב סטיית תקן. אני מודיע: "הממוצע הוא מטר שישים ושבע", ושואל כל אחת: מה המרחק שלך מהממוצע? הראשונה אומרת "פלוס שמונה". השנייה "פלוס שש". וכן הלאה. האם גם עכשיו כולן חופשיות? לא. סכום הסטיות מהממוצע הוא תמיד אפס. אם עד עכשיו הסכום של כולן יחד הוא מינוס 2, האחרונה חייבת להיות פלוס 2. אני בכלל לא צריך לשאול אותה. היא לא חופשית.

זה המושג , דרגות חופש: כמה ערכים חופשיים באמת. לסטיית התקן יש n − 1 דרגות חופש, כי היא נשענת על אומדן אחד שחושב מאותם נתונים, הממוצע. כלל שילווה אותנו בכל הספר: על כל אומדן שמחשבים מהנתונים ומשתמשים בו, משלמים דרגת חופש אחת. בפרק 20 נראה שדרגות החופש קובעות גם את צורת התפלגות tt distribution.

חלוקה ב־n: כמעט אף פעם

יש גם גרסה שמחלקת ב־n: SS / n. היא מתארת את הפיזור של הערכים שבידינו בלבד, בלי שום טענה על אוכלוסייה. בדוגמת הטעויות: 36 / 5 = 7.2, ושורש: 2.68, במקום 9 ו־3. מתי משתמשים בה? רק כשהנתונים הם באמת כל האוכלוסייה, כל התלמידים שקיימים, וזה כמעט אף פעם לא קורה במחקר. ולכן תפגשו אותה בספר רק פעם אחת נוספת, בפרק 17, כשנתייחס לרגע ל־200 התלמידים שלנו כאילו הם כל האוכלוסייה. חוץ מזה, "שונות" ו"סטיית תקן" הן תמיד בחלוקה ב־n − 1.

באקסל יש פונקציה לכל גרסה, והשמות מבלבלים. STDEV.S ו־VAR.S מחלקותClass interval ב־n − 1: אלה שלנו. STDEV.P ו־VAR.P מחלקות ב־n. האות S היא sample, מדגם, ו־P היא population, אוכלוסייה. ולמה זה מבלבל? כי דווקא הפונקציה של ה"מדגם" היא זו שאומדת את האוכלוסייה. אני לא כל כך אוהב את השמות האלה. כלל פשוט במקום להתבלבל: בספר תמיד S.

כמה זה משנה? תלוי בגודל המדגם. בחמישה ערכים, ההבדל ניכר: 3 לעומת 2.68. ב־200 התלמידים שלנו הוא כמעט נעלם: לציוני החרדה, STDEV.S נותן 0.5189, ו־STDEV.P נותן 0.5176. בשתי ספרות אחרי הנקודה, אותו מספר.

הסיפור המלא: כמה קטן מדי?

אפשר להוכיח שבממוצע, על פני הרבה מדגמים, SS / n שווה ל־(n − 1) / n משונות האוכלוסייהPopulation variance. במדגם של 5, זה 80% ממנה: הערכת חסר של 20%. במדגם של 200, הערכת חסר של חצי אחוז בלבד. חלוקה ב־n − 1 מבטלת את הפער לגמרי, ולכן s² נקרא אומד חסר הטיהUnbiased estimator של σ². נראה את זה בסימולציה בפרק 17.

ועוד פרט קטן לסקרנים: גם עם n − 1, סטיית התקן עצמה, השורש, עדיין קטנה מעט מ־σ בממוצע. שורש של ממוצע אינו ממוצע של שורשים. אבל ההטיה הזו זעירה, וכל התוכנות והמאמרים משתמשים ב־SD עם n − 1. זו המוסכמה, וגם המוסכמה של APA.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.סכום הריבועים של 11 ערכים הוא 50. מהי סטיית התקן לפי הספר, ומה הייתה בחלוקה ב־n?

2.כמה דרגות חופשDegrees of freedom יש לסטיית התקן של 25 תלמידים?

3.למה סכום הריבועים סביב ממוצע המדגם, M, נוטה להיות קטן מסכום הריבועים סביב ממוצע האוכלוסייה, μ?

טרנספורמציות: מה קורה לממוצע ולפיזורTransformation

בטרנספורמציה לינאריתLinear transformation y = a + b·x: הממוצע הופך ל־a + b·M. סטיית התקן מוכפלת ב־|b|, והשונות ב־b². הוספת קבועAdding a constant לא משנה את הפיזור בכלל.

בפרק 6 שאלנו אילו טרנספורמציות מותרותPermissible transformation בכל סולם. בפרק 10 ראינו מה הן עושות לממוצע. עכשיו נשאל מה הן עושות לפיזור. שתי פעולות:

הוספת קבועAdding a constant. המורה מוסיפה 5 נקודות פקטור לכל התלמידים. כל הציונים זזים יחד, באותו מרחק. הממוצע זז איתם, 5 נקודות למעלה. אבל המרחקים בין התלמידים לא השתנו, וגם המרחק של כל תלמיד מהממוצע לא השתנה. לכן סטיית התקן והשונות לא משתנות.

הכפלה בקבועMultiplying by a constant. המורה הופכת ציון מ־0 עד 20 לציון מ־0 עד 100: כופלת ב־5. עכשיו כל מרחק בין שני תלמידים גדל פי 5, וגם המרחק מהממוצע. לכן סטיית התקן מוכפלת ב־5, והשונות, שהיא ריבוע, ב־25. ואם הקבוע שלילי? הסדר מתהפך, אבל מרחק נשאר מרחק. לכן סטיית התקן מוכפלת בערך המוחלט של הקבוע.

y = a + b · x ⟹ M_y = a + b · M_x SD_y = |b| · SD_x s_y² = b² · s_x²

דוגמה פתורה: בונוס והכפלה

בבחינה, הממוצע 70 וסטיית התקן 8. מה יקרה בכל אחת מהטרנספורמציות?

הטרנספורמציה	ממוצע	סטיית תקן	שונות
המקור	70	8	64
בונוס: ועוד 5 לכל ציון	75	8	64
כפול 1.2	84	9.6	92.16
כפול 1.2, ועוד 5	89	9.6	92.16

M_y = 5 + 1.2 · 70 = 5 + 84 = 89

SD_y = 1.2 · 8 = 9.6 רק b משפיע. הבונוס לא משנה את הפיזור

s_y² = 1.2² · 64 = 1.44 · 64 = 92.16 ובדיקה: 9.6² = 92.16

שתי טרנספורמציות מהקובץ

גיל בחודשים. הגיל בקובץ רשום בשנים: M = 10.05, SD = 0.55. בחודשים, y = 12·x. בלי לחשב מחדש: הממוצע 12 · 10.054 = 120.65 חודשים, וסטיית התקן 12 · 0.5546 = 6.66 חודשים. שימו לב: מכפילים את הערכים המדויקים, ומעגלים רק בסוף.

פריט הפוךReversed item. בשאלון הקשיבות, פריט 10 (m10, "אני אומר/ת לעצמי שאסור לי להרגיש ככה") הוא פריט הפוך, ובפרק 16 נהפוך אותו: y = 6 − x. כאן a = 6 ו־b = −1. הממוצע של m10 הוא 2.775, ואחרי ההיפוך 6 − 2.775 = 3.225. וסטיית התקן? |−1| = 1, ולכן היא נשארת בדיוק כמו שהייתה, 1.03. ההיפוך שינה את הכיוון, לא את הפיזור.

עצרו ונסו

בחודש מסוים הטמפרטורה הממוצעת בחצר בית הספר הייתה 20 מעלות צלזיוס, עם סטיית תקן 4. ממירים לפרנהייט: y = 32 + 1.8·x. מהם הממוצע, סטיית התקן והשונות בפרנהייט?

בדיקת התשובה

M_y = 32 + 1.8 · 20 = 32 + 36 = 68

SD_y = 1.8 · 4 = 7.2 ה־32 לא משפיע

s_y² = 1.8² · 4² = 3.24 · 16 = 51.84

מעבדה: מה קורה לפיזור בטרנספורמציה?

מעבדה: מה קורה לפיזור בטרנספורמציה? משנים את a ואת b, ורואים את הממוצע ואת סטיית התקן לפני ואחרי.פתיחה בחלון נפרד

משימות למעבדה

לחצו "בונוס: פלוס 5". מה זז בגרף, ומה נשאר במקום? הסתכלו גם על הרצועה הצבעונית.
לחצו "הכפלה ב־1.2". בכמה גדלה סטיית התקן? ובכמה השונות?
הזיזו את b לערך שלילי, למשל −1. מה קורה לסדר של הנקודות, ומה לסטיית התקן?

בדיקת התשובה

1. כל הנקודות והממוצע זזים 5 ימינה, מ־18 ל־23. הרצועה, שרוחבה סטיית התקן, זזה איתן בלי להשתנות: 4.04 לפני ואחרי. 2. סטיית התקן גדלה פי 1.2, מ־4.04 ל־4.85, והשונות פי 1.44, מ־16.33 ל־23.52. 3. הסדר מתהפך: הקטן ביותר הופך לגדול ביותר. סטיית התקן נשארת 4.04, כי |−1| = 1.

הסיפור המלא: הטרנספורמציה שתלווה את הספר

בפרק 13 נכיר את ציון התקן: לכל ערך, z = (x − M) / SD. זו טרנספורמציה לינאריתLinear transformation, עם b = 1/SD ו־a = −M/SD. מה יהיו הממוצע וסטיית התקן של ציוני התקן? לפי הכללים: a + b·M = −M/SD + M/SD = 0, ו־|b| · SD = SD/SD = 1. תמיד, בכל משתנה. ומה לא ישתנה? הצורה. טרנספורמציה לינארית מזיזה ומותחת, אבל לא משנה את צורת ההתפלגות. התפלגות עם שתי דבשות תישאר עם שתי דבשות. על הצורה, בפרק הבא.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.לציון במבחן, M = 12 ו־SD = 3. מחשבים ציון חדש: y = 2·x − 4. מהם הממוצע וסטיית התקן החדשים?

2.חוקרת ממירה את מספר הדקות שתלמיד קורא ביום לשעות: y = x / 60. סטיית התקן בדקות היא 18. מהי סטיית התקן בשעות?

3.בשאלון של 1 עד 5 הופכים פריט: y = 6 − x. תלמידה טוענת: "ההיפוך משנה את סדר הערכים, ולכן גם את סטיית התקן". מה התשובה לה?

בתוכנה: מדדי הפיזור של החרדה

נחשב את כל מדדי הפיזור של anx_pre, החרדה לפני התוכנית, ואת סטיית התקן בכל קבוצה. המספרים זהים בשלוש התוכנות.

anx_pre היא עמודה AI, בשורות 2 עד 201. כל הפונקציות באותו מבנה: שם הפונקציה, ובסוגריים הטווח.

anx_pre

Formula	Result
=MAX(AI2:AI201)-MIN(AI2:AI201)	2.625
=QUARTILE.INC(AI2:AI201,1)	1.75
=QUARTILE.INC(AI2:AI201,3)	2.625
=QUARTILE.INC(AI2:AI201,3)-QUARTILE.INC(AI2:AI201,1)	0.875
=DEVSQ(AI2:AI201)	53.5731
=VAR.S(AI2:AI201)	0.2692
=STDEV.S(AI2:AI201)	0.5189
=STDEV.P(AI2:AI201)	0.5176

QUARTILE.INC: הארגומנט השני הוא מספר הרבעון: 1 לראשון, 2 לחציון, 3 לשלישי. אקסל לא נותן את התחום הבין־רבעוני ישירות, ולכן מחסירים.
DEVSQ: סכום הריבועים, SS. בדיקה: 53.5731 / 199 = 0.2692, השונות.
STDEV.S: סטיית התקן של הספר, בחלוקה ב־n − 1. את STDEV.P הצגנו רק כדי לראות כמה הוא קרוב. לא מדווחים אותו.

סטיית תקן בכל קבוצה: טבלת ציר (Pivot Table, פרק 9). Insert > PivotTable, גוררים את group ל־Rows ואת anx_pre ל־Values. לוחצים על השדה ב־Values, Value Field Settings, ובוחרים StdDev. שימו לב: StdDev מחלק ב־n − 1, ו־StdDevp מחלק ב־n.

PivotTable

Row Labels	StdDev of anx_pre
0	0.5279
1	0.5350
2	0.4930
Grand Total	0.5189

Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives. מעבירים את anx_pre ל־Variable(s).
ב־Options מסמנים Mean, Std. deviation, Variance, Range, Minimum, Maximum.

Descriptive Statistics

	N	Range	Minimum	Maximum	Mean	Std. Deviation	Variance
Anxiety, pre	200	2.6250	1.1250	3.7500	2.2356	.51886	.269
Valid N (listwise)	200

רבעונים: Analyze > Descriptive Statistics > Frequencies. מבטלים את Display frequency tables, וב־Statistics מסמנים Quartiles.

Statistics

Anxiety, pre
N	Valid	200
	Missing	0
Percentiles	25	1.7500
	50	2.2500
	75	2.6250

סטיית תקן בכל קבוצה: Analyze > Compare Means > Means. Dependent List: anx_pre. Independent List: group. ב־Options מוסיפים Variance.

Report

Study group	Mean	N	Std. Deviation	Variance
Control	2.3243	74	.52787	.279
Indirect (teachers only)	2.1719	51	.53498	.286
Combined (teachers and pupils)	2.1914	75	.49301	.243
Total	2.2356	200	.51886	.269

Std. Deviation: סטיית התקן, בחלוקה ב־n − 1. ב־SPSS אין אפשרות אחרת.
Variance: השונות, סטיית התקן בריבוע: .51886² = .269.
Percentiles 25, 75: Q1 ו־Q3. התחום הבין־רבעוני: 2.625 − 1.75 = 0.875. SPSS מחשב רבעונים בשיטה מעט שונה מאקסל (ראו "הסיפור המלא" בסעיף 2). כאן התוצאה זהה.

מספר הספרות אחרי הנקודה תלוי בהגדרות המשתנה.

Descriptives > Descriptive Statistics. מעבירים את anx_pre ל־Variables.
ב־Statistics, תחת Dispersion, מסמנים Std. deviation, Variance, Range, Minimum ו־Maximum. תחת Percentile Values מסמנים Quartiles.
לסטיית תקן בכל קבוצה: מעבירים את group ל־Split.

Descriptive Statistics

	anx_pre
Valid	200
Missing	0
Mean	2.236
Std. Deviation	0.519
Variance	0.269
Range	2.625
Minimum	1.125
Maximum	3.750
25th percentile	1.750
50th percentile	2.250
75th percentile	2.625

Std. Deviation: בחלוקה ב־n − 1, כמו בכל התוכנות הסטטיסטיות.
25th, 75th percentile: Q1 ו־Q3. כאן הם זהים לאקסל ול־SPSS. במדגמים קטנים התוכנות יכולות להיות שונות מעט (ראו "הסיפור המלא" בסעיף 2).

בגרסאות שונות של JASP הטבלה יכולה להופיע הפוכה, עם המדדים בעמודות.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.באקסל, =DEVSQ(AP2:AP201) על ציוני החרדה אחרי התוכנית נותן 79.0655. מה ייתן =VAR.S(AP2:AP201)?

1.ב־SPSS, ב־Descriptives על ציוני החרדה אחרי התוכנית (anx_post), מתקבלים N = 200 ו־Variance = .3973. SPSS לא מציג את סכום הריבועים. מהו?

1.ב־JASP, ב־Descriptive Statistics על ציוני החרדה אחרי התוכנית (anx_post), מתקבלים Valid 200 ו־Variance 0.397. מהו סכום הריבועים, בקירוב?

2.בפלט, לקבוצת הביקורת: סטיית תקן .52787, שונות .279. איך בודקים שהמספרים מתאימים?

3.בטבלת ציר באקסל, ב־Value Field Settings, איזו אפשרות נותנת את סטיית התקן של הספר?

3.ב־SPSS, איזו אפשרות נותנת סטיית תקן בחלוקה ב־n, כמו StdDevp של אקסל?

3.ב־JASP, Std. Deviation בטבלת Descriptive Statistics: במה מחלקים את סכום הריבועים?

טעויות נפוצות

מדווחים ממוצע בלי סטיית תקן. שתי הכיתות מהפתיחה "זהות" בממוצע ושונות מאוד בפיזור.
מחלקים ב־n, או בוחרים STDEV.P. בספר, ובמחקר, תמיד n − 1 ו־STDEV.S.
מתבלבלים בין שונות לסטיית תקן. השונות היא הריבוע, ביחידות בריבוע. מה שמדווחים לצד הממוצע הוא סטיית התקן.
שוכחים לסדר את הערכים לפני שמחפשים רבעון. הרבעון הוא מיקום ברשימה מסודרת.
חושבים שבונוס מגדיל את סטיית התקן. הוספת קבוע מזיזה את הממוצע בלבד. רק הכפלה משנה את הפיזור.
מכפילים את השונות ב־b ולא ב־b². סטיית התקן מוכפלת ב־|b|, והשונות ב־b².
משאירים 99 בעמודה. ערך חסרMissing value שנספר כמספר מנפח את סטיית התקן פי עשרה, כמו שראינו בפרק 8.

בדקו את עצמכם

סיכום

מדד פיזור אומר כמה הערכים שונים זה מזה. מדווחים אותו תמיד לצד מדד המרכז.
תחום: הגבוה פחות הנמוך. פשוט, ורגיש מאוד לערך קיצוני.
רבעונים ותחום בין־רבעוני: Q3 − Q1, הרוחב של חצי הערכים האמצעיים. עמיד. מתאים לחציון.
שונות וסטיית תקן: מסכום ריבועי הסטיות מהממוצע, חלקי n − 1, ושורש. סטיית התקן היא בערך המרחק הטיפוסי מהממוצע. מתאימה לממוצע.
n − 1: כי סטיית התקן של המדגם היא אומדן ל־σ. באקסל, הפונקציות עם S.
טרנספורמציות: הוספת קבוע לא משנה את הפיזור. הכפלה ב־b מכפילה את סטיית התקן ב־|b| ואת השונות ב־b².

תחום = מקסימום − מינימום, IQR = Q3 − Q1, מיקום רבעון = 1 + p(n − 1)

SS = Σ(x − M)², s² = SS / (n − 1), SD = √s²

y = a + b·x: M_y = a + b·M_x, SD_y = |b|·SD_x, s_y² = b²·s_x²

מונחים חדשים

מדד פיזורתחוםרבעוןתחום בין־רבעוניסכום ריבועיםשונותסטיית תקןשונות האוכלוסייהאומדן לשונות האוכלוסייהשונות בחלוקה ב־nדרגות חופשהוספת קבועהכפלה בקבועQUARTILE.INCVAR.S, STDEV.SDEVSQ

שאלות לדוגמה, עם פתרונות

שאלות בסגנון מבחן, מהקלה אל הקשה. נסו לפתור לבד לפני שאתם פותחים את הפתרון.

תחום ורבעונים. שמונה תלמידים קיבלו בבוחן קצר את הציונים (מסודרים): 4, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10. מצאו את התחום, את Q1, את Q3 ואת התחום הבין־רבעוני, בשיטה של QUARTILE.INC.

בדיקת התשובה

תחום = 10 − 4 = 6

Q1: מיקום = 1 + 0.25 · (8 − 1) = 2.75 בין הערך השני (6) לשלישי (6)

Q1 = 6 + 0.75 · (6 − 6) = 6

Q3: מיקום = 1 + 0.75 · 7 = 6.25 בין הערך השישי (8) לשביעי (9)

Q3 = 8 + 0.25 · (9 − 8) = 8.25

IQR = 8.25 − 6 = 2.25

כשהמיקום אינו שלם, מתחילים מהערך שבמיקום השלם, ומוסיפים את החלק העשרוני של המיקום כפול המרחק לערך הבא.
סטיית תקן ביד. שישה תלמידים דיווחו כמה פעמים איחרו בחודש: 1, 3, 4, 6, 7, 9. חשבו את סכום הריבועים, את השונות ואת סטיית התקן. איזו פונקציה באקסל תיתן את סטיית התקן הזו?

בדיקת התשובה

M = 30 / 6 = 5

סטיות: −4, −2, −1, 1, 2, 4 הסכום: אפס

SS = 16 + 4 + 1 + 1 + 4 + 16 = 42

s² = 42 / (6 − 1) = 8.4

SD = √8.4 = 2.90

STDEV.S, שמחלקת ב־n − 1. STDEV.P הייתה נותנת √(42 / 6) = √7 = 2.65, וזו לא סטיית התקן שמדווחים.
טרנספורמציה. בבחינה, M = 62 ו־SD = 12. א. המורה מחליטה על ציון חדש: y = 30 + 0.7·x. מהם הממוצע, סטיית התקן והשונות החדשים? ב. איזו טרנספורמציה לינאריתLinear transformation תיתן ממוצע 75 וסטיית תקן 10?

בדיקת התשובה

א. M_y = 30 + 0.7 · 62 = 30 + 43.4 = 73.4

SD_y = 0.7 · 12 = 8.4 ה־30 לא משפיע על הפיזור

s_y² = 0.7² · 144 = 0.49 · 144 = 70.56

ב. סטיית התקן קובעת את b: b = 10 / 12 = 0.833

הממוצע קובע את a: 75 = a + 0.833 · 62 ⟹ a = 75 − 51.67 = 23.33

y = 23.33 + 0.833 · x

בדיקה: 23.33 + 0.833 · 62 = 75, ו־0.833 · 12 = 10. שימו לב לסדר בסעיף ב: קודם b, מסטיית התקן, כי a לא משפיע עליה. אחר כך a, מהממוצע. אגב, הציונים הנמוכים עולים יותר מהגבוהים: ציון 30 הופך ל־48.33, וציון 90 ל־98.33.

קריאת פלט. הפלט הבא מ־SPSS מתאר את שביעות הרצון מהחיים לפני התוכנית (sat_pre, סולם 1 עד 7) בשלוש הקבוצות.

Report

Study group	Mean	N	Std. Deviation	Variance
Control	4.9405	74	.87943	.773
Indirect (teachers only)	5.2706	51	1.00226	1.005
Combined (teachers and pupils)	5.0453	75	1.10408	1.219
Total	5.0640	200	1.00306	1.006

א. באיזו קבוצה הפיזור הגדול ביותר? ב. הראו איך מקבלים את השונות של קבוצת הביקורת מסטיית התקן שלה. ג. מהו סכום הריבועים בקבוצה המשולבת? ד. חוקרת מעבירה את הציון לסולם 0 עד 100: y = (x − 1) · 100 / 6. מה תהיה סטיית התקן של הקבוצה המשולבת בסולם החדש?

בדיקת התשובה

א. בקבוצה המשולבת: SD = 1.10, הגדולה מבין השלוש

ב. .87943² = .773

ג. s² = SS / (n − 1) ⟹ SS = s² · (n − 1) = 1.219 · 74 = 90.21

ד. b = 100 / 6 = 16.67 ⟹ SD_y = 16.67 · 1.10408 = 18.40

בסעיף ג הופכים את הנוסחה של השונות. בסעיף ד, ה־"מינוס 1" שבתוך הסוגריים הוא הוספת קבוע, ולכן הוא לא משפיע על סטיית התקן. רק ההכפלה ב־100/6 משנה אותה.

מה יקרה ל־SD? לחמשת התלמידים מתרגיל "עצרו ונסו" בסעיף 3 (3, 7, 7, 9, 14; M = 8, SD = 4) הצטרף תלמיד שישי, שתרגל בדיוק 8 ימים. בלי לחשב הכול מחדש: האם הממוצע ישתנה? האם סטיית התקן תגדל, תקטן או תישאר? חשבו אותה.

בדיקת התשובה

הממוצע: (40 + 8) / 6 = 48 / 6 = 8 לא משתנה, כי הערך החדש שווה לממוצע

הסטייה של הערך החדש: 8 − 8 = 0 ⟹ SS נשאר 64

s² = 64 / (6 − 1) = 12.8 היה 64 / 4 = 16

SD = √12.8 = 3.58

סטיית התקן קטנה, מ־4 ל־3.58. הערך החדש לא הוסיף שום "פיזור" לסכום הריבועים, אבל המכנה גדל. כלומר, ערך שיושב בדיוק על הממוצע מקטין את המרחק הטיפוסי מהממוצע.

תרגול עם הנתונים

הקבצים עצמם נמצאים גם בתיקיית data בחבילת הספר.

חשבו את התחום, את הרבעונים, את התחום הבין־רבעוני ואת סטיית התקן של שביעות הרצון מהחיים לפני התוכנית (sat_pre, עמודה AG, סולם 1 עד 7).
בדיקת התשובה
הערכים נעים בין 2.4 ל־7, ולכן התחום 4.6. Q1 = 4.4, חציון 5, Q3 = 5.8, ולכן התחום הבין־רבעוני 1.4. M = 5.06, SD = 1.00, ושונות 1.01. חצי מהתלמידים נמצאים ברצועה של פחות משתי נקודות, בחלק העליון של הסולם.
החרדה מיד אחרי התוכנית (anx_post): באיזו קבוצה הפיזור הגדול ביותר? השוו סטיות תקן ותחומים בין־רבעוניים.
בדיקת התשובה
בקבוצת הביקורת: SD = 0.67, ותחום בין־רבעוני 2.75 − 1.875 = 0.875. בתוכנית העקיפה: 0.59, ו־2.375 − 1.5625 = 0.8125. בתוכנית המשולבת: 0.55, ו־2.25 − 1.5 = 0.75. שני המדדים מסכימים: בקבוצת הביקורת הפיזור הגדול ביותר. לפני התוכנית, זוכרים, סטיות התקן היו קרובות מאוד: 0.53, 0.53 ו־0.49.
חשבו את סטיית התקן של מספר האחים (siblings, עמודה I), פעם ב־STDEV.S ופעם ב־STDEV.P. אל תשכחו את ערכי ה־99.
בדיקת התשובה
קודם מוחקים את חמשת ערכי ה־99 (או מחליפים אותם בתא ריק, פרק 8). על 195 התלמידים: STDEV.S נותן 1.51, ו־STDEV.P נותן גם הוא 1.51 (1.5117 לעומת 1.5078). במדגם כזה ההבדל זניח, ומדווחים את הראשון. עם ה־99 בעמודה, סטיית התקן הייתה 15.20.
חוקרת רוצה להציג את החרדה בסולם של 0 עד 100: y = (x − 1) · 100 / 3, כך ש־1 הופך ל־0 ו־4 הופך ל־100. בלי לחשב עמודה חדשה, מה יהיו הממוצע וסטיית התקן של anx_pre בסולם החדש? ובדקו באקסל.
בדיקת התשובה
זו טרנספורמציה לינארית עם b = 100/3 = 33.33. הממוצע: (2.2356 − 1) · 100/3 = 41.19. סטיית התקן: 0.5189 · 100/3 = 17.30. באקסל, עמודת עזר =(AI2-1)*100/3, גוררים למטה, ו־AVERAGE ו־STDEV.S על העמודה נותנים בדיוק את אותם מספרים.

בפרק הבא: צורת ההתפלגות. ממוצע וסטיית תקן אומרים איפה ובכמה, אבל לא אם ההתפלגות סימטריתSymmetric distribution, אם יש לה זנב, ואם יש בה ערכים קיצוניים. נכיר את מדדי ההטיה והגבנוניותKurtosis, את דיאגרמת התיבה, ונכתוב את הפסקה הראשונה של פרק השיטה.

מקורות: Hyndman, R. J., & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365. · Tarrasch, R., & Berger, R. (2022). Comparing indirect and combined effects of mindfulness and compassion practice among schoolchildren on inter- and intra-personal abilities. Mindfulness. https://doi.org/10.1007/s12671-022-01955-y