חלק 0: לפני שמתחילים · פרק 2

ארגז כלים מתמטי

סטטיסטיקה לא דורשת מתמטיקה מתקדמת. היא דורשת חשבון של בית ספר, שעושים אותו בזהירות. בפרק הזה נרענן את מה שצריך, ונכיר סימן אחד חדש שילווה אותנו בכל הספר: Σ.

שאלת הפתיחה

איך אותם מספרים נותנים פעם 19 ופעם 28?

חשבו את 3 + 4 × 2². ועכשיו את (3 + 4) × 2². אותם מספרים, אותן פעולות, ושתי תוצאות שונות. בסוף הפרק תבינו למה, ותדעו לכתוב את שני התרגילים באקסל בלי טעות.

בסוף הפרק תוכלו

לחשב לפי סדר הפעולות, ולכתוב את החישוב כנוסחה באקסל.
לעבור בין שברFraction, מספר עשרוניDecimal number ואחוזPercent, ולעגל נכון.
לקרוא ולחשב ביטויים עם סימן הסכום Σ.
להבחין בין Σx² לבין (Σx)².

סדר פעולותOrder of operations

סוגריים, אחר כך חזקותPower ושורשיםSquare root, אחר כך כפל וחילוק משמאל לימין, ובסוף חיבור וחיסור משמאל לימין.

בתרגיל מהפתיחה, הכפל והחזקהPower "חזקים" יותר מהחיבור, ולכן מחשבים אותם קודם:

3 + 4 × 2² = 3 + 4 × 4 = 3 + 16 = 19

(3 + 4) × 2² = 7 × 2² = 7 × 4 = 28 הסוגריים קודמים לכול

ובאקסל, אותם שני תרגילים: =3+4*2^2 נותן 19, ו־=(3+4)*2^2 נותן 28. אקסל שומר על אותו סדר פעולות בדיוק. כפל הוא כוכבית, וחזקה היא ה"כובע", ^.

הכלל המלא, מהפעולה ה"חזקה" אל ה"חלשה":

סוגריים: מה שבתוכם קודם לכול.
חזקות ושורשיםSquare root.
כפל וחילוק, משמאל לימין.
חיבור וחיסור, משמאל לימין.

למה זה חשוב בסטטיסטיקה? כי כמעט כל נוסחה בספר היא שילוב של כמה פעולות. ואקסל לא יתריע אם שכחתם סוגריים. הוא פשוט יחשב את מה שכתבתם, ותקבלו תוצאה שגויה בלי שום הודעה.

שימו לב: נוסחאות קוראים משמאל לימין, כמו באנגלית, גם בספר בעברית.

קו השבר הוא סוגריים

חשבו על קו השבר כך: מה שמעליו נמצא בסוגריים, ומה שמתחתיו נמצא בסוגריים. על הנייר זה ברור מאליו. באקסל, שבו כותבים הכול בשורה אחת, חייבים לכתוב את הסוגריים האלה במפורש.

הממוצע של 10 ו־6: (10 + 6) / 2 = 16 / 2 = 8 נכון

10 + 6 / 2 = 10 + 3 = 13 שגוי: בלי סוגריים, רק 6 מתחלק ב־2

(8 − 5)² / 3 + 1 = 3² / 3 + 1 = 9 / 3 + 1 = 4

מעבדה: סדר פעולות, צעד אחר צעד. בחרו תרגיל, ולחצו "הצעד הבא".פתיחה בחלון נפרד

עצרו ונסו

חשבו: א. 2 + 3 × 4 ב. (2 + 3) × 4 ג. 20 − 8 / 2 ד. (6 + 2)² / 4 ה. (5 + 7 + 9) / 3

בדיקת התשובה

א. 2 + 12 = 14 ב. 5 × 4 = 20 ג. 20 − 4 = 16

ד. 8² / 4 = 64 / 4 = 16 ה. 21 / 3 = 7 זה ממוצע של שלושה מספרים

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.כמה זה 12 − 6 / 3 × 2?

2.על הנייר כתוב שבר: מעל הקו 12 + 8, ומתחתיו 6 − 2. איזו נוסחה באקסל מחשבת אותו נכון?

=(12+8)/(6-2)

(12 + 8) / (6 − 2) = 20 / 4 = 5

קו השבר הוא סוגריים גם מעליו וגם מתחתיו. =(12+8)/6-2 נראה כמעט נכון, אבל בלי סוגריים למטה אקסל מחלק רק ב־6, ואחר כך מחסר 2.

3.חשבו: (4 + 2 × 3)² / 5 − 6

מספרים שלילייםNegative number

מינוס כפול מינוס הוא פלוס, ולכן ריבוע של מספר שלילי חיובי: (−3)² = 9. מספר שלילי שמעלים בריבוע כותבים בסוגריים.

בסטטיסטיקה נפגוש מספרים שליליים כל הזמן, כי נחשב מרחקים מהממוצע: מי שמתחת לממוצע יקבל מרחק שלילי. ואז, הרבה פעמים, נעלה את המרחקים בריבוע.

3 − 6 = −3

(−3)² = (−3) × (−3) = 9

(2 − 6)² = (−4)² = 16

הסיפור המלא: מלכודת באקסל

במתמטיקה, −3² בלי סוגריים הוא −9: קודם מעלים בריבוע, ואחר כך מוסיפים מינוס. אבל באקסל =-3^2 נותן 9, כי אקסל מחשב את המינוס של המספר לפני החזקה. הפתרון הפשוט: כשיש מספר שלילי וחזקה, כתבו תמיד סוגריים, ואז אין ויכוח.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.תלמיד קיבל 64 במבחן, וממוצע הכיתה היה 70. מהו המרחק שלו מהממוצע, בריבוע?

2.כמה זה (−2) × (−5) × (−1)?

3.שלושה תלמידים קיבלו 7, 9 ו־11, והממוצע הוא 9. חשבו לכל אחד את המרחק מהממוצע, ואת המרחק בריבוע.

שבר, מספר עשרוני ואחוז

שלוש דרכים לכתוב אותו ערך: 3/4 = 0.75 = 75%. משבר לעשרוני מחלקים. מעשרוני לאחוז כופלים ב־100.

שבר הוא חילוק: 3/4 הוא 3 ÷ 4 = 0.75. אחוז הוא "מתוך מאה": 0.75 × 100 = 75%. ובכיוון ההפוך, 40% הוא 40 ÷ 100 = 0.40.

בסטטיסטיקה נשתמש בזה בעיקר בשאלות "איזה חלק": אם 18 מתוך 24 תלמידים עברו מבחן, אז 18 / 24 = 0.75, כלומר 75% עברו.

הסיפור המלא: חיבור שברים

כמעט לא נחבר שברים ביד, אבל כדאי לזכור את העיקרון: מחברים רק שברים עם אותו מכנה. 1/4 + 2/4 = 3/4. ואם המכנים שונים, מביאים למכנה משותף: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4. בפועל, הכי פשוט להפוך כל שבר למספר עשרוני ולחבר: 0.5 + 0.25 = 0.75.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.בקובץ המחקר יש 200 תלמידים, ו־104 מהם בנות. כמה אחוזים זה?

2.איך כותבים 0.065 באחוזים?

3.לפני התוכנית התנדבו 76 מתוך 200 התלמידים במחקר. אחרי התוכנית התנדבו 103. מה אחוז המתנדבים בכל מדידה?

חזקה ושורש

חזקה שנייה (ריבוע) היא מספר כפול עצמו: 5² = 25. שורש הוא הפעולה ההפוכה: √25 = 5. באקסל: =5^2 ו־=SQRT(25).

שתי הפעולות האלה הן הלב של מדד הפיזור החשוב ביותר בסטטיסטיקה, סטיית התקן. כדי לחשב אותה נעלה מרחקים בריבוע, ובסוף נוציא שורש, כדי לחזור ליחידות המקוריות. לכן כדאי להכיר אותן היטב כבר עכשיו.

ריבוע הופך כל מספר לחיובי, ומגדיל מספרים גדולים הרבה יותר מקטנים: 2² = 4, אבל 10² = 100. שורש עושה את ההפך: √100 = 10, √4 = 2.

באקסל החזקה נכתבת בסימן ^, ה"כובע" שמעל הספרה 6 במקלדת: =5^2. ולשורש יש פונקציה: =SQRT(25), מהמילה square root.

√(9 + 16) = √25 = 5 קודם מחשבים את מה שמתחת לשורש

√9 + √16 = 3 + 4 = 7 וזה כבר תרגיל אחר

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.כמה זה √(36 + 64)?

2.איזו נוסחה באקסל מחשבת את √(18 / 2)?

=SQRT(18/2)

18 / 2 = 9

√9 = 3

כל מה שמתחת לשורש נכנס לתוך הסוגריים של SQRT. =SQRT(18)/2 מוציא שורש רק מ־18, ומחלק אחר כך, ונותן 2.12.

3.לתלמיד אחד המרחק מהממוצע הוא 1, ולתלמיד אחר 5. פי כמה גדול המרחק השני? ופי כמה גדול הריבוע שלו?

עיגולRounding

מעגלים לשתי ספרות אחרי הנקודה לפי הספרה השלישית: 0–4 משאירים, 5–9 מוסיפים אחת. ומעגלים רק בסוף.

המספר	הספרה השלישית	בעיגול לשתי ספרות
78.3333	3	78.33
6.6667	6	6.67
2.345	5	2.35
0.3991	9	0.40

והכלל החשוב ביותר: מעגלים רק בסוף. שליש ועוד שליש ועוד שליש הם בדיוק אחת. אבל אם מעגלים כל שליש ל־0.33 ורק אז מחברים, מקבלים 0.99. בחישוב ארוך, עיגול באמצע הדרך מצטבר לטעות שאפשר לראות.

כשהמספר נראה מוזר: E

יום אחד תחשבו באקסל ממוצע שאמור לצאת אפס, ותקבלו משהו כזה:

−1.94E−16

זה לא באג. כשמספר קטן מאוד או גדול מאוד לא נכנס בתא, התוכנה כותבת אותו בכתיב מדעי. ה־E באה מ־exponent, חזקה, והמספר שאחריה אומר כמה מקומות להזיז את הנקודה. מינוס אומר שמאלה, פלוס אומר ימינה:

−1.94E−16 = −1.94 × 10⁻¹⁶ = −0.000000000000000194

3.5E+06 = 3.5 × 10⁶ = 3,500,000

אז המספר הראשון הוא אפס, עם "שאריתResidual" זעירה שנשארת מהדרך שבה מחשבים מחשבים. בעיגול לשתי ספרות, התשובה היא 0.

עצרו ונסו

א. 12 מתוך 40, באחוזים. ב. 45% כמספר עשרוני. ג. עגלו את 12.3456 לשתי ספרות. ד. (1 − 5)² ה. (−2)² + (−3)²

בדיקת התשובה

א. 12 / 40 = 0.30 = 30% ב. 0.45 ג. 12.35

ד. (−4)² = 16 ה. 4 + 9 = 13

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.עגלו את 3.1049 לשתי ספרות אחרי הנקודה.

2.בפלט של תוכנה מופיע המספר 2.4E−03. מה זה?

3.חשבו את 2 / 3 × 6 פעמיים: פעם בלי לעגל עד הסוף, ופעם כשמעגלים את 2 / 3 לשתי ספרות לפני הכפל. מה ההבדל?

סימן הסכום Σ

פירושו "סכום". Σx = סכום כל הערכים. Σx² = מעלים כל ערך בריבוע, ואז מחברים. (Σx)² = מחברים, ואז מעלים בריבוע.

האות היוונית סיגמא, , מקבילה לאות S, כמו במילה Sum. היא אומרת: חשבו את מה שכתוב אחריי לכל ערך, ואז חברו הכול.

נניח שחמישה תלמידים למדו בשבוע 3, 5, 6, 8 ו־8 שעות. נקרא לכל ערך x, ולמספר הערכים , כאן n = 5.

x	x²	x − M	(x − M)²
3	9	−3	9
5	25	−1	1
6	36	0	0
8	64	2	4
8	64	2	4
Σ = 30	Σ = 198	Σ = 0	Σ = 18

Σx = 3 + 5 + 6 + 8 + 8 = 30

Σx² = 9 + 25 + 36 + 64 + 64 = 198 קודם ריבוע לכל ערך, אחר כך סכום

(Σx)² = 30² = 900 קודם סכום, אחר כך ריבוע: מספר אחר לגמרי

M = Σx / n = 30 / 5 = 6 הממוצע

Σ(x − M) = −3 − 1 + 0 + 2 + 2 = 0

Σ(x − M)² = 9 + 1 + 0 + 4 + 4 = 18

שתי שורות כאן יחזרו בספר שוב ושוב. הראשונה: = Σx / n, נוסחת הממוצע. השנייה: סכום המרחקים מהממוצע הוא תמיד אפס, בכל רשימת מספרים. המרחקים החיוביים והשליליים מקזזים זה את זה בדיוק. ולכן, כדי למדוד כמה הנתונים מפוזרים, מעלים את המרחקים בריבוע לפני שמחברים. זה הסכום 18 שבשורה האחרונה, ובפרק 11 הוא יהפוך לסטיית התקן.

הסיפור המלא: הכתיבה המלאה

בספרים מתקדמים תראו את הסכום כתוב עם אינדקסים: הערכים נקראים x₁, x₂, …, xₙ, והסכום נכתב Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ, "סכום של x־i, כש־i רץ מ־1 עד n". זו אותה פעולה בדיוק. בספר נכתוב בקיצור Σx, כי ברור על מה מחברים.

מעבדת הסכום Σ. בחרו ביטוי, וראו איך הטבלה מחושבת.פתיחה בחלון נפרד

משימות למעבדה

השוו את Σx² ואת (Σx)² בדוגמת הפרק. מה גדול יותר, ובכמה?
לחצו "להציב את הממוצע" ובחרו Σ(x − c). מה יוצא? נסו רשימה אחרת של מספרים.

שלושה כללים שחוסכים חישוב

כשמוסיפים קבוע, כופלים בקבוע או מחברים קבוע, אין צורך לחשב מחדש. נסמן את הקבוע ב־c:

Σ(x + c) = Σx + n · c דוגמה: Σ(x + 2) = 30 + 5 · 2 = 40

Σ(c · x) = c · Σx דוגמה: Σ(2x) = 2 · 30 = 60

Σc = n · c דוגמה: Σ4 = 5 · 4 = 20

הכללים האלה יעזרו לנו בפרק 11, כשנשאל מה קורה לממוצע ולסטיית התקן כשמוסיפים נקודות לכל הציונים, או כשממירים ציונים לסולם אחר.

דוגמה פתורה

הערכים: 2, 5, 7, 9, 12. חשבו את Σx, Σx², (Σx)², את הממוצע, ואת Σ(x − M)².

Σx = 35, n = 5, M = 35 / 5 = 7

Σx² = 4 + 25 + 49 + 81 + 144 = 303, (Σx)² = 35² = 1225

x − 7: −5, −2, 0, 2, 5 → (x − 7)²: 25, 4, 0, 4, 25 → Σ = 58

תורכם

הערכים: 2, 4, 4, 10. חשבו את n, Σx, Σx², (Σx)², הממוצע, Σ(x − M), Σ(x − M)² ו־Σ(x + 3).

בדיקת התשובה

n = 4, Σx = 20, Σx² = 4 + 16 + 16 + 100 = 136, (Σx)² = 400

M = 5, Σ(x − 5) = 0, Σ(x − 5)² = 9 + 1 + 1 + 25 = 36

Σ(x + 3) = 20 + 4 · 3 = 32 הכלל הראשון

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.עבור הערכים 1, 2 ו־3: איזה מהביטויים שווה ל־36?

2.חמישה תלמידים קיבלו בבוחן ציונים מ־1 עד 10, וסכום הציונים Σx = 38. המורה ממירה כל ציון לסולם של 100, כלומר כופלת כל ציון ב־10. מה הסכום החדש?

3.בקובץ המחקר, מספר האחים של חמשת התלמידים הראשונים, siblings, הוא 2, 1, 2, 4 ו־0. חשבו את n, Σx, Σx², (Σx)², הממוצע, ו־Σ(x − M)².

בתוכנה

נחשב את הסכומים של דוגמת הפרק (3, 5, 6, 8, 8) בתוכנה. בפרק הבא נכיר את התוכנות לעומק. כאן רק טעימה.

הקלידו את המספרים בתאים A2 עד A6. אחר כך, כל נוסחה בתא ריק משלה:

=SUM(A2:A6): Σx = 30
=SUMSQ(A2:A6): Σx² = 198. הפונקציה מעלה כל ערך בריבוע ומחברת.
=SUM(A2:A6)^2: (Σx)² = 900
=AVERAGE(A2:A6): הממוצע, 6
=DEVSQ(A2:A6): Σ(x − M)² = 18, בפקודה אחת

ואם רוצים לראות כל שלב, כמו בטבלה של הפרק: בתא B2 כותבים =A2^2 וגוררים למטה, ואז =SUM(B2:B6).

ב־Data View מקלידים את המספרים בעמודה הראשונה, וב־Variable View קוראים לה x.
עמודת ריבועים: Transform > Compute Variable. Target Variable: x_sq. Numeric Expression: x**2. ב־SPSS החזקה נכתבת בשתי כוכביות.
Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives, מעבירים את x ואת x_sq, ובכפתור Options מסמנים Sum ו־Mean.

Descriptive Statistics

	N	Sum	Mean
x	5	30.00	6.00
x_sq	5	198.00	39.60

פותחים קובץ CSV עם עמודה בשם x והמספרים 3, 5, 6, 8, 8.
עמודת ריבועים: לוחצים על + שבסוף כותרות העמודות, בוחרים עמודה מחושבת, ושם x_sq. כנוסחה כותבים x^2.
Descriptives > Descriptive Statistics, גוררים את x ואת x_sq, ובחלק Statistics מסמנים Sum.

Descriptive Statistics

	x	x_sq
Valid	5	5
Mean	6.00	39.60
Sum	30.00	198.00

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.המספרים נמצאים בתאים A2 עד A6. איזו נוסחה באקסל נותנת את Σx²?

=SUMSQ(A2:A6) SUMSQ מעלה כל ערך בריבוע ומחברת. =SUM(A2:A6)^2 מחבר קודם ומעלה בריבוע אחר כך, ולכן נותן (Σx)². DEVSQ נותנת את Σ(x − M)².

1.ב־SPSS אתם יוצרים עמודת ריבועים ב־Transform > Compute Variable. מה תכתבו ב־Numeric Expression?

x**2 ב־SPSS החזקה נכתבת בשתי כוכביות. x^2 הוא הכתיבה של אקסל ושל JASP. x*x*2 הוא פעמיים הריבוע, לא הריבוע.

1.ב־JASP אתם יוצרים עמודת ריבועים: לוחצים על + שבסוף כותרות העמודות ובוחרים עמודה מחושבת בשם x_sq. מה תכתבו כנוסחה?

x^2 בעמודה מחושבת של JASP כותבים בקוד R, והחזקה נכתבת ב־^, כמו באקסל. x*2 הוא פי שניים, לא בריבוע, ו־2^x הוא 2 בחזקת x.

2.בדוגמת הפרק, הממוצע של עמודת הריבועים, x_sq, הוא 39.60. מה המספר הזה?

3.כתבתם 4, 6, 6 ו־8 בתאים A2 עד A5, ואז =DEVSQ(A2:A5). איזה מספר תקבלו? חשבו ביד לפני שאתם בודקים.

M = (4 + 6 + 6 + 8) / 4 = 24 / 4 = 6

x − M: −2, 0, 0, 2

Σ(x − M)² = 4 + 0 + 0 + 4 = 8

DEVSQ מחשבת את Σ(x − M)² בפקודה אחת. הממוצע הוא 6, המרחקים −2, 0, 0 ו־2, וסכום הריבועים 8.

3.ב־SPSS הקלדתם 4, 6, 6 ו־8 בעמודה x. ב־Transform > Compute Variable יצרתם d_sq עם הביטוי (x - 6)**2, וב־Descriptives ביקשתם Sum. איזה מספר יופיע ב־Sum של d_sq? חשבו ביד לפני שאתם בודקים.

M = (4 + 6 + 6 + 8) / 4 = 24 / 4 = 6

x − M: −2, 0, 0, 2

Σ(x − M)² = 4 + 0 + 0 + 4 = 8

6 הוא הממוצע, ולכן העמודה d_sq מכילה את ריבועי המרחקים מהממוצע, והסכום שלה הוא Σ(x − M)²: המרחקים −2, 0, 0 ו־2, וסכום הריבועים 8.

3.ב־JASP פתחתם קובץ עם עמודה x: ‏4, 6, 6 ו־8. יצרתם עמודה מחושבת d_sq עם הקוד (x - mean(x))^2, וב־Descriptive Statistics סימנתם Sum. איזה מספר יופיע ב־Sum של d_sq? חשבו ביד לפני שאתם בודקים.

M = (4 + 6 + 6 + 8) / 4 = 24 / 4 = 6

x − M: −2, 0, 0, 2

Σ(x − M)² = 4 + 0 + 0 + 4 = 8

mean(x) הוא 6, ולכן העמודה מכילה את ריבועי המרחקים מהממוצע, והסכום שלה הוא Σ(x − M)²: המרחקים −2, 0, 0 ו־2, וסכום הריבועים 8.

טעויות נפוצות

ממוצע בלי סוגריים. =70+80+90/3 נותן 180, לא 80.
לבלבל בין Σx² ל־(Σx)². בדוגמה שלנו: 198 מול 900.
לעגל באמצע הדרך. הטעות מצטברת. מעגלים רק את התוצאה הסופית.
מספר שלילי בריבוע בלי סוגריים. כתבו תמיד (−3)².

בדקו את עצמכם

סיכום

סדר פעולות: סוגריים, חזקות ושורשים, כפל וחילוק, חיבור וחיסור. קו השבר הוא סוגריים.
ריבוע ושורש הם פעולות הפוכות. באקסל: ^ ו־SQRT.
שבר, עשרוני, אחוז: אותו ערך בשלוש כתיבות. מעגלים רק בסוף.
Σ פירושו סכום. M = Σx / n, וסכום המרחקים מהממוצע תמיד אפס.

מונחים חדשים

סדר פעולותחזקהשורשעיגולסימן הסכום Σמרחק מהממוצע

בפרק הבא: נכיר את שלוש התוכנות. איך נראה המסך, איך כותבים נוסחה באקסל, ואיך פותחים את קובץ המחקר ב־SPSS וב־JASP.